Материал: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П

28

u1 u4 e,

u6 u7 u8 u5 0.

Можно выбрать и другие независимые контуры, напри-

мер,

-e,R1,C1,

-C1,R2,C2,C3,

-e,R1,R2,C2,C3,

идля них записать уравнения второго закона Кирхгофа, которые будут эквивалентны системе (1.34).

Второй закон Кирхгофа базируется на фундаментальном законе природы – законе сохранения энергии. Сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна работе по переносу единичного заряда в пассивных элементах контура, а сумма ЭДС – работе сторонних сил в идеальных источниках напряжения по переносу в них того же единичного заряда. Так как в результате заряд возвратился в исходную точку, то эти работы должны быть одинаковы.

1.11. Реальные источники сигнала

Рассмотренные выше идеальные источники напряжения и тока не всегда пригодны для формирования адекватных моделей электронных устройств. Основная причина этого - возможность передачи ими в нагрузку бесконечной мощности. В этом случае используют усложненные модели источников сигнала, которые называют реальными.

Эквивалентная схема (модель) реального источника напряжения показана на рис. 1.24. В ее состав входят идеальный источник напряжения e(t) и внутреннее сопротивление реаль-

29

ного источника Re . К источнику подключено сопротивление нагрузки RН . По вто-

рому закону Кирхгофа можно записать

Подставляя (1.36) в (1.35) получим

i Re u e ,

откуда следует уравнение для вольт-амперной характеристики реального источника напряжения

график которой для постоянных значений тока и напряжения приведен на рис. 1.25. Пунктирной линией показана вольтамперная характеристика идеального источника напряжения. Как видно, в реальном источнике максимальный ток ограничен, а

Рис. 1.25 значит отдаваемая им мощность не может быть бесконечной.

30

При постоянном напряжении мощность, отдаваемая реальным источником (рис. 1.24) в нагрузку, равна

го источника рис. 1.14. Таким образом, можно определить идеальный источник напряжения как реальный источник с нулевым внутренним сопротивлением (внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю).

Эквивалентная схема реального источника тока показана на рис. 1.27. В ее состав входит идеальный источник тока i0

и внутреннее сопротивление Ri , к источнику подключена нагрузка RН . Уравнение первого закона

Кирхгофа для одного из узлов цепи рис. 1.27 имеет вид

для вольт-амперной характеристики реального источника тока

31

Она имеет вид, аналогичный рис. 1.26, соответствующий гра-

i02 Ri / 4 .

При стремящемся к бесконечности внутреннем сопротивлении Ri вольтамперная характеристика реального источ-

ника тока стремится к характеристике идеального источника (рис. 1.15б). Тогда идеальный источник можно рассматривать как реальный с бесконечным внутренним сопротивлением.

Сравнивая вольтамперные характеристики реальных источников напряжения и тока на рис. 1.25 и рис. 1.28, нетрудно убедиться, что они могут быть одинаковы при условиях

32

эквивалентны, то есть в схемах замещения электрических цепей реальный источник напряжения можно заманить реальным источником тока и наоборот. Для идеальных источников такая замена невозможна.

1.12. Система уравнений электрической цепи для мгновенных значений токов и напряжений

На основе законов Ома и Кирхгофа можно сформировать систему уравнений, связывающих между собой мгновенные значения токов и напряжений. Для этого необходимо выполнить следующие действия (рассмотрим их на примере цепи рис. 1.29).

Рис. 1.29

Определяются узлы цепи (в схеме рис. 1.29 их число равно q 4 ) и выбираются независимые контуры, их

количество равно n p q 1, где p- число ветвей цепи, не содержащих идеальные источники тока (в примере p 6 и n 3).

Для каждой ветви и каждого элемента цепи записываются уравнения закона Ома (табл. 1.1). Для схемы на рис. 1.29 получим

Уравнения связи между током и напряжением в элементах или ветвях цепи называют подсистемой компонентных уравнений. Число уравнений равно количеству пассивных элементов или ветвей цепи. Как видно, в состав подсистемы входят дифференциальные или интегральные соотношения между токами и напряжениями.

Для каждого из q 1 узлов составляются уравнения первого закона Кирхгофа (один из q узлов не исполь-

зуется).

В рассматриваемом примере для узлов 1, 2 и 3 эти уравнения имеют вид, например, (1.32)

i1 i2 i3 0,

i5 i6 i0 0.

Всего формируется q 1 уравнений.

34

В цепи выбирается n p q 1 независимых конту-

ров, для которых составляются уравнения второго закона Кирхгофа.

В схеме на рис. 1.29 выбранные три независимых контура отмечены круговыми линиями со стрелкой, указывающей положительное направление обхода. Для них уравнения второго закона Кирхгофа имеют вид (1.34)

Уравнения, сформированные по первому и второму за-

конам Кирхгофа, называют подсистемой топологических уравнений, так как они определяются схемой (топологией) цепи. Общее количество уравнений в ней равно числу ветвей p, не содержащих идеальные источники тока.

Совокупность подсистем компонентных и топологических уравнений образуют полную систему уравнений электрической цепи для мгновенных значений токов и напряжений, которая является полной моделью цепи.

Из компонентных уравнений нетрудно выразить все напряжения через токи ветвей, тогда для цепи на рис. 1.29 из (1.43) получим

36

Задание 1.2. Напряжение uR (t) на сопротивлении R из-

меняется, как показано на рис. 1.31. Получите выражение для напряжения емкости uC (t) , по-

стройте график uC (t) .

Рис. 1.31

Задание 1.3. Напряжение u(t) на параллельном соеди-

нении сопротивления R

и индуктивности L изменяется, как показано на рис. 1.32. Запишите выражение для общего тока i(t) , постройте его

график.

Рис. 1.32

37

Задание 1.4. В схемах цепей, показанных на рис. 1.33, определите число узлов и ветвей, количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

1.33

Задание 1.5. Для цепей, эквивалентные схемы которых показаны на рис. 1.37, запишите полные системы уравнений по закону Ома, первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Задание 1.6. Для цепи, показанной на рис. 1.34, запишите полную систему уравнений по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Рис. 1.34