Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г

действительное возрастание y. Обычно реальные опыты в начале движения из базовой точки вдоль направления градиента ставятся через 2-4 мысленных опыта. Другие опыты реализуют на практике, определяя последовательность значений y в направлении градиента. Из опытных данных находят положение локального экстремума (точка М на рис. 3.4).

7. В окрестности локального экстремума ставят новую серию опытов (ПФЭ или ДФЭ) для определения новых значений коэффициентов уравнения регрессии и нового направления градиента (направление М на рис. 3.4). В дальнейшем процедура повторяется до достижения следующего локального экстремума и так далее вплоть до определения окрестности координат максимума функции отклика, которая носит название почти стационарной области.

Признаком достижения этой области является статистическая незначимость коэффициентов . В почти стационарной области становятся значимы эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Здесь требуется переходить от ДФЭ (если он использовался ранее) к ПФЭ, а если и этого окажется недостаточно, перейти от планов эксперимента первого порядка к планам второго порядка.

Очевидно, что в задачах, где требуется определить координаты не максимума, а минимума функции отклика, знаки коэффициентов следует поменять на обратные. В этом случае движение в факторном пространстве осуществляется по направлению, противоположному вектору градиента.

3.3. Симплексный метод планирования

Метод симплексного планирования позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума. В этом методе не требуется вычисления градиента функции отклика, поэтому он относится к безградиентным методам поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса.

50

Симплекс — это простейший выпуклый многогранник, образованный k+1 вершинами в k-мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин симплекса являются значениями факторов в отдельных опытах. Так, например, в двухфакторном пространстве (на плоскости) k = 2 симплекс — любой треугольник, в трехфакторном (трехмерном) k = 3 пространстве — тетраэдр и т.д.

Симплекс называется правильным или регулярным, если все расстояния между образующими его вершинами равны (равносторонний треугольник, правильный тетраэдр и др.).

После построения исходного симплекса и проведения опытов при значениях факторов, соответствующих координатам его вершин, анализируют результаты и выбирают вершину симплекса, в которой получено наименьшее (наихудшее) значение функции отклика. Для движения к оптимуму необходимо поставить опыт в новой точке, являющейся зеркальным отображением точки с наихудшим (минимальным) результатом относительно противоположной грани симплекса. На рис. 3.5 представлено геометрическое изображение симплекс-метода для двумерного случая k = 2.

Рис. 3.5. Схема движения к оптимальной области симплексным методом

51

По итогам проведения опытов 1, 2 и 3 худшим оказался опыт 3. Следующий опыт ставится в точке 4, которая образует с точками 1 и 2 новый правильный симплекс. Далее сопоставляются результаты опытов 1, 2 и 4. Наихудший результат получен в точке 1, поэтому она в новом симплексе заменяется зеркальным отображением (точкой 5) и т.д., пока не будет достигнута почти стационарная область. Следует заметить, что хотя этот путь и зигзагообразен, общее число опытов, необходимых для достижения области оптимума, может быть небольшим за счет того, что проводить k+1 опыт приходится лишь в начале, а в дальнейшем каждый шаг сопровождается проведением только одного дополнительного опыта, условия которого выбираются на основе предшествующих результатов.

После изложения основных идей симплексного метода планирования оптимальных экспериментов остановимся на некоторых его деталях. Выбор размеров симплекса и его начального положения в известной степени произволен. Для построения начального симплекса значения в каждом опыте исходного симплекса определяются по формуле

где — координаты центра начального симплекса; ∆ — интервал варьирования i-го фактора; — кодированное значение i-го фактора для j-го опыта, выбираемые из числовой матрицы для симплексного планирования, приведенные в табл. 3.1.

52

= 1,2,…, ,

где k – число факторов.

Если, например, необходимо составить симплекс-план для двух факторов, то вначале ставят три опыта со следующими координатами:

1-й опыт .

= + ∆ ;

53

= + ∆ .

2-й опыт

3-й опыт .

=+0;

=+ ∆ .

Симплекс, рассчитанный по этим формулам, представлен на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Схема построения начального симплекса

(-0,5; 0,289) и опыт 3 (0;-0,577), что соответствует координатам вершин равностороннего треугольника с длиной

54