Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г

Для этого вычислим:

тогда

Эта величина найдена нами при числе степеней свободы

f N0 1 5 1 4.

Оценки дисперсий в определении коэффициентов регрессии вычисляем по формулам (2.47) – (2.50):

[0.81(2 1) (2 1)] 0.0438.

Пользуясь таблицей значений критерия Стьюдента, находим t ,n 2.78 для f = 4 и P =0.95. Тогда:

40

Sb0 t ,n 0.274 2.78 0.761;

Sbi t ,n 0.194 2.78 0.539;

Sbik t ,n 0.248 2.78 0.689;

Sbii t ,n 0.209 2.78 0.581.

Для проверки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим следующие соотношения:

b0 66.7 Sb0 t ,n; b1 1.89 Sbi t ,n;

Отсюда видно, что все коэффициенты регрессии значимы.

Пользуясь формулой (2.51), вычисляем оценку дисперсии адекватности:

Число степеней свободы, связанных с этой оценкой дисперсии, находим по формуле (2.52):

41

адекватно представленным результатам эксперимента. Перейдем в уравнение регрессии от кодированных

переменных к физическим. Пусть в нашем примере кодированные переменные X1 и X2 представляют собой температуру и концентрацию, причем координаты центра плана x01= 60°С и x02= 30%, а шаги варьирования ∆x1= 5°С и

∆х2= 1%.

Тогда на основании формулы (2.8) справедливы следующие выражения:

X1 x1 x01 0.2x1 12;

x1

Подставляя их в полученное в этом примере уравнение регрессии, преобразуем его к виду

y 2409 9.57x1 19.7x2 0.32x1x2 0.0244x12 3.4x22 .

Пользуясь таким уравнением, исследователь избавляется от необходимости переводить всякий раз условия опыта в кодированные переменные.

42

3. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПРИ ПОИСКЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

Во многих случаях инженерной практики перед исследователем возникает задача не только выявления характера связи между двумя или несколькими рядами наблюдений, но и нахождения таких численных значений факторов, при которых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения (максимума или минимума). Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом:

требуется определить такие координаты экстремальной точки ( , ,…, ) поверхности отклика = ( , ,…, ), в

которой она максимальна (минимальна): max ( , ,…, )

линии постоянного уровня и описываются уравнением y=f( , )=B=const.

Необходимость в экстремальных экспериментах довольно часто возникает в инженерной практике. Так, на модели шахтной печи с противоточно движущимся плотным продуваемым слоем, схема которой представлена на рис. 3.2, требуется определить расположение фурмы по высоте печи H, ее диаметр D и весов L, обеспечивающие максимальную степень использования теплового потенциала газового потока. В данном случае факторами являются H, D, L, а в качестве функции отклика y(H, D, L,) в первом приближении можно использовать температуру отходящих из печи газов.

43

Рис. 3.1. Поверхность отклика (а) и линии равного уровня (б):

= ( , ) = = для n=2

Заметим, что вид функции отклика в этом случае исследователю заранее неизвестен, т.е. отсутствует математическая модель, адекватно описывающая данный процесс. Требуется с наименьшими затратами (при минимальном числе опытов) определить оптимальные значения , , , при которых температура отходящих газов минимальна.

Известный из практики метод "проб" и "ошибок", в котором факторы изменяются на основании опыта, интуиции или наугад, при обычно имеющем место значительном числе факторов при исследовании процессов в металлургии зачастую оказывается малоэффективным вследствие весьма сложной зависимости функции отклика от факторов.

44