Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г

стороны, равной 1. Начало координат в этом случае находится в точке пересечения медиан (биссектрис).

Для определения условий проведения опыта в отраженной точке (координат новой вершины симплекса) используется формула

н = 2 − з , ≠ з,

где н— координата новой точки (новой вершины) симплекса для i-й переменной;

з — координата заменяемой точки (координата вершины симплекса с наихудшим откликом перед ее отбрасыванием);

∑— среднее значение из координат всех вершин

симплекса, кроме заменяемой.

Известны следующие критерии окончания процесса последовательного отражения наихудших вершин и постановки очередных опытов в новых вершинах:

Рис. 3.7. Координаты вершин симплекса при =0, ∆ =1 и n=2

55

1. Разность значений функции отклика в вершинах симплекса становится меньше ранее заданной величины. Это означает либо выход в "почти стационарную" область вблизи

тельными опытами в стороне от симплекса следует удостовериться в отсутствии других участков с более

отклика за точку оптимума.

2.Отражение любой из вершин симплекса после однократного качания приводит к его возврату в прежнее положение. При этом есть основания утверждать "накрытие" симплексом точки оптимума.

3.Циклическое движение симплекса вокруг одной из его вершин на протяжении более чем нескольких шагов. Подобная ситуация имеет место, когда искомый оптимум располагается внутри области, охватываемой циркулирующим симплексом.

В случаях 2 и 3 рекомендуется уменьшить размеры симплекса, т.е. расстояния между вершинами, и продолжить поиск до желаемого уточнения координат искомого оптимума.

Изложенный алгоритм симплексного метода сравнительно прост, он достаточно эффективен, однако работает недостаточно быстро. Существует его модификация, известная под названием "метод деформируемого симплекса", которая ускоряет процесс поиска оптимума за счет использования на данном шаге информации, накопленной на предыдущих шагах.

Сущность метода поиска по деформированному симплексу заключается в том, что при отражении наихудшей вершины относительно центра тяжести противоположной грани размер симплекса не остается постоянным, а осуществляется его деформация (растяжение или сжатие). Для пояснения существа метода введем координату центра тяжести ̅остальных (за исключением наихудшей) вершин симплекса:

56

Тогда формула может быть преобразована к виду

з— наихудший (минимальный) отклик в симплексе;

—наилучший (максимальный) отклик;

з, — отклик, следующий за наихудшим.

растяжения признается “весьма удачным” и симплекс растягивается в нормальном направлении. Для этого случая

следует сжать выбором коэффициента сжатия α из диапазона

57

Таким образом, на каждом шаге следует вначале

координаты которой определяются по формуле (6.40) с учетом рассмотренных вариантов 1-4.

На рис. 3.8 показаны точка 4 очередного опыта при нормальном отражении (α=1) наихудшей вершины 1, точки 5’, 5’’, 5’’’ последующих опытов для случаев соответственно

симплекса.

Рис. 3.8. К методу деформированного симплекса

Таким образом, метод поиска по деформированному симплексу обладает повышенной гибкостью, позволяющей учитывать особенности поверхности отклика.

Пример 3.1 [7]. Пусть объект обладает свойствами, соответствующими уравнению

= 4+12 − +30 −3 .

58

Найдем экстремум функции симплекс-методом. Выберем основной уровень факторов. Предположим, что по некоторым

1 = 2∙ (1+1) = 0.5;

Находим координаты первых трех опытов, так как m+1=2+1=3.

Вершина 1: = 3+0,5 1 = 3,5; = −1+0,289 1,5 = −0,565;

1,5 = −1,865.

Подставляя найденные координаты вершин в уравнение,

Следовательно, условия опыта 3 следует заменить. Геометрическая траектория движения показана на рис. 3.9.

59