Материал: Основы квантовой физики. методические указания к решению задач по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

19. Рентгеновское излучение с длиной волны λ=10пм рассеивается свободными электронами. Определите максимальную длину волны рентгеновского излучения в рассеянном пучке. [12,4 пм]

Контрольные задания по квантовой оптике

Тема Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тепловое излучение	10	13	14	15	16	17	18	19	20	21
Фотоэффект	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Давление света	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6
Эффект Комптона	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10

2. Волновые свойства частиц

2.1. Волны де Бройля Теоретический материал

Формула де Бройля, выражающая связь длины волны с импульсом p движущейся частицы, для двух случаев:

а) в классическом приближении ( )

, ;

б) в релятивистском случае ( )

), , где

Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы;

а) в классическом приближении: ;

б) релятивистском случае: .

Фазовая скорость волн де Бройля:

,

где ω - круговая частота; k - волновое число (k = 2π/λ).

Групповая скорость волн де Бройля

.

Соотношения де Бройля:

; ,

где Е - энергия движущейся частицы; p - импульс частицы.

Дифракция микрочастиц на кристалле (формула Вульфа-Брегга)

,

где d - межплоскостное расстояние в кристалле, - угол скольжения, k – порядок дифракции.

Примеры решения задач

Задача 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускорявшую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U₁ =51В; 2) U₂ = 510кВ.

Решение

Длина волны де Бройля частицы зависит от ее импульса и определяется формулой

. (1)

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для нерелятивистского (Т<<Е_о) и для релятивистского (Т приближенно равно Е₀) случаев выражается формулами:

, (2)

. (3)

Формула (1) с учетом (2) и (3) запишется соответственно в нерелятивистском и релятивистском случаях:

, (4)

. (5)

Прежде чем решить вопрос, которую из формул (4) или (5) следует применять для вычисления длины волны де Бройля, необходимо сравнить кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁= 51В и U₂=510кB,c энергией покоя электрона. Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

.

В первом случае: = 0,51∙10^-4МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = m₀c² = 0,51МэВ. Следовательно, для вычисления длины волны де Бройля можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т₁ =10^-4m₀c². Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде

.

Учитывая, что есть комптоновская длина волны λ_к, получаем

λ₁ = (100/ ) λ_к.

Так как λ_к = 2,43∙10^-12 м, то

λ₁ = (100/ )∙2,43∙10^-12м = 172 пм.

Во второй случае кинетическая энергия =510кэB, то есть равна энергии покоя электрона. Следовательно, для вычисления длины волны де Бройля необходимо применять релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Т₂ = 0,51МэВ=m₀с², по формул (5) находим

,

или

= 1,4 пм.

Задача 2. Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b = 2,0мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на L=50см, ширина цен­трального дифракционного максимума Δx = 0,36мм.

Решение

Согласно гипотезе де Бройля длина волны λ, соответствующая частице массой m, движущейся со скоростью , выражается формулой

. (1)

При дифракции на узкой щели ширина центрального дифракционного максимума равна расстоянию между дифракционными минимумами первого порядка. Дифракционные минимумы при дифракции на одной щели наблюда­ются при условии

Рис. 2.1

, (2)

г

e₀

де k = 1,2,3...- порядковый номер минимумов. Для минимумов первого порядка (k = 1), угол заведомо мал, поэтому , и, следова­тельно, формула (2) примет вид

(3)

Как следует из рис.2.1, ширина центрального максимума

L

(4)

Выражая φ из (4) и подставляя его в (3), получаем

. (5)

Искомую скорость электронов найдем из соотношения (1) с учетом формулы (5):

=1,0 Мм/с.

З

адача 3. На грань некоторого кристалла под углом =80° к её поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость электронов, если они испытывают интерференционное отражение первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2мкм.

Решение

Интерференционное отражение первого порядка возникает при наложении плоских когерентных волн, сопровождающих движение электронов, отраженных от соседних атомных плоскостей кристал­ла. Максимум интерференции наблюдается тогда, когда на оптической разности хода укладывается целое число длин волн де Бройля

, где k= 1,2,3... (1)

Из рис. 2.2 видно, что оптическая разность хода

. (2)

Максимум интерференции первого порядка будет наблюдаться, если:

. (3)