Рисунок 2.1 Значение криптовалютного индекса в долларах США
Идея построения индекса - построенный индекс отражает состояние рынка криптовалют.
Изначально, индекс был построен на 2130 наблюдениях - дневные цены с 28.05.2013 по 25.02.2019. Данные цен криптовалют предоставлены ежедневными непрерывными котировками, в то время как индекс MSCI WORLD не имеет данных за выходные дни. Для корректного сопоставления данных рынка акций и криптовалют, данные неторговых для акций дней были удалены из индекса.
После фильтрации данные построенного индекса представлены 1521 наблюдением с 29.04.2013 по 25.02.2019, данные аналогичного периода были взяты по индексу MSCI WORLD.
Рисунок 2.2 Значение криптовалютного индекса и индекса MSCI WORLD в долларах США
ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ВОЛАТИЛЬНОСТИ КРИПТОВАЛЮТ
3.1 Методология построения GARCH-моделей
Методология построения GARCH-моделей. Построение GARCH-модели для оценки волатильности. В процессе исследования были использованы модели AR, MA и ARMA так как предполагается наличие зависимости данных от прошлых значений. После отладки и оптимизации модели ARMA по параметрам p и q (количества лагов доходности и остатков регрессии) были проанализированы полученные после использования полученной модели ARMA остатки регрессии на белошумность и квадраты остатков на гетероскедастичность.
Общая формула ARMA-модели (3.1):
Где - доходность периода t;
- коэффициент при доходности;
- исторические данные доходности;
- коэффициент при остатках;
- исторические данные остатков модели.
В случае если проверка показала белошумность остатков и наличие гетероскедастичности у квадратов остатков, это свидетельствует о наличии GARCH-эффекта для рассматриваемого ряда доходностей. Затем следует оценить отклонение распределения от нормального для правильного построения GARCH-модели.
Общая формула GARCH-модели (3.2):
Где - прогнозируемая дисперсия;
- константа;
- коэффициент при дисперсии;
- исторические данные дисперсии;
- коэффициент при исторических данных остатков;
- исторические данные квадратов остатков модели.
Для выполнения вышеперечисленного алгоритма в первую очередь должно выполняться условие стационарности временного ряда. В данной работе были использованы ряды доходностей 97 криптовалют объединенных в индекс. В данной работе использовались дневные доходности (3.3).
Где - доходность актива в период t;
- цена актива в период t;
- цена актива в период t-1.
Для проверки ряда доходностей на стационарность был использован тест Дики-Фуллера. Нулевая гипотеза теста Дики-Фуллера предполагает наличие единичного корня в авторегрессионном уравнении. Если нулевая гипотеза отвергается, делается вывод о том, что ряд стационарен. Отвергается нулевая гипотеза в случае, если наблюдаемая тестовая статистика меньше чем критические значения статистики Дики-Фуллера (DFнабл<DFкрит(1%)).
Далее, для построения правильной AR,MA или ARMA модели необходима коррелограмма доходностей. Она позволяет визуально определить возможный вид подходящей ARMA-модели.
Наиболее значимые отклонения значений автокорреляционной функции (Autocorrelation) от нуля свидетельствуют о наличии MA-эффекта с соответствующим лагом, а отклонения значений частной автокорреляционной функции (Partial Correlation) от нуля свидетельствуют о наличии AR-эффекта с соответствующим лагом.
MA-эффект - зависимость доходности от прошлых значений остатков модели;
AR-эффект - зависимость доходность от её прошлых значений.
ARMA-модель выбирается исходя из значимости регрессоров и значения BIC (Schwarz criterion). Наименьшее значение BIC свидетельствует о лучшей спецификации модели.
Процедура выбора подходящей GARCH-модели аналогична процедуре выбора ARMA-модели - наилучшая модель имеет наименьший критерий Шварца (BIC) и наибольшую значимость регрессоров.
3.2 Построение GARCH-моделей
Были построены 6 GARCH-моделей для построенного в ходе работы индекса и индекса MSCI WORLD. По 3 модели для каждого индекса. По 500 наблюдений для моделей выборок №1,2,4,5 и по 350 наблюдений для выборок № 3 и 6, данные приведены в таблице 3.1.
Таблица № 3.1 Данные отобранные для построения GARCH-моделей
|
Выборка № |
Количество наблюдений |
Даты наблюдений |
Данные |
|
|
1 |
500 |
30.04.2013 - 23.04.2015 |
Доходность построенного в ходе работы индекса |
|
|
2 |
500 |
23.07.2015 - 17.07.2017 |
Доходность построенного в ходе работы индекса |
|
|
3 |
350 |
02.10.2017 - 25.02.2019 |
Доходность построенного в ходе работы индекса |
|
|
4 |
500 |
30.04.2013 - 23.04.2015 |
Доходность индекса MSCI WORLD |
|
|
5 |
500 |
23.07.2015 - 17.07.2017 |
Доходность индекса MSCI WORLD |
|
|
6 |
350 |
02.10.2017 - 25.02.2019 |
Доходность индекса MSCI WORLD |
Построение GARCH-модели для выборки №1.
Таблица № 3.2
Проверка на стационарность выборки №1 (тест Дики-Фуллера)
|
Null Hypothesis: Y has a unit root |
|||||
|
Exogenous: Constant |
|||||
|
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=17) |
|||||
|
Augmented Dickey-Fuller test statistic |
-23.89226 |
0.0000 |
|||
|
Test critical values: |
1% level |
-3.443228 |
|||
|
5% level |
-2.867112 |
||||
|
10% level |
-2.569800 |
||||
|
*MacKinnon (1996) one-sided p-values. |
|||||
|
Augmented Dickey-Fuller Test Equation |
|||||
|
Dependent Variable: D(Y) |
|||||
|
Method: Least Squares |
|||||
|
Date: 05/06/19 Time: 16:33 |
|||||
|
Sample (adjusted): 2 500 |
|||||
|
Included observations: 499 after adjustments |
|||||
|
Variable |
Coefficient |
Std. Error |
t-Statistic |
Prob. |
|
|
Y(-1) |
-1.068759 |
0.044732 |
-23.89226 |
0.0000 |
|
|
C |
0.003266 |
0.002928 |
1.115244 |
0.2653 |
|
|
R-squared |
0.534574 |
Mean dependent var |
9.63E-05 |
||
|
Adjusted R-squared |
0.533638 |
S.D. dependent var |
0.095693 |
||
|
S.E. of regression |
0.065349 |
Akaike info criterion |
-2.614146 |
||
|
Sum squared resid |
2.122441 |
Schwarz criterion |
-2.597262 |
||
|
Log likelihood |
654.2295 |
Hannan-Quinn criter. |
-2.607520 |
||
|
F-statistic |
570.8399 |
Durbin-Watson stat |
1.985888 |
||
|
Prob(F-statistic) |
0.000000 |
Наблюдаемая статистика Дики-Фуллера меньше критических значений, что свидетельствует о стационарности ряда данных.
Таблица № 3.3 Коррелограмма доходностей выборки №1
|
Date: 04/06/19 Time: 17:48 |
|||||||
|
Sample: 1 500 |
|||||||
|
Included observations: 500 |
|||||||
|
Autocorrelation |
Partial Correlation |
AC |
PAC |
Q-Stat |
Prob |
||
|
*|. | |
*|. | |
1 |
-0.069 |
-0.069 |
2.3781 |
0.123 |
|
|
.|. | |
.|. | |
2 |
0.061 |
0.057 |
4.2583 |
0.119 |
|
|
.|* | |
.|* | |
3 |
0.086 |
0.094 |
7.9610 |
0.047 |
|
|
.|* | |
.|* | |
4 |
0.123 |
0.134 |
15.616 |
0.004 |
|
|
.|. | |
.|. | |
5 |
-0.025 |
-0.017 |
15.929 |
0.007 |
|
|
.|* | |
.|* | |
6 |
0.119 |
0.095 |
23.085 |
0.001 |
|
|
.|. | |
.|. | |
7 |
0.031 |
0.027 |
23.572 |
0.001 |
|
|
.|* | |
.|. | |
8 |
0.081 |
0.065 |
26.908 |
0.001 |
|
|
.|. | |
.|. | |
9 |
-0.052 |
-0.061 |
28.309 |
0.001 |
|
|
.|* | |
.|* | |
10 |
0.129 |
0.086 |
36.806 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
11 |
0.011 |
0.017 |
36.868 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
12 |
0.035 |
0.013 |
37.508 |
0.000 |
|
|
*|. | |
*|. | |
13 |
-0.121 |
-0.138 |
45.114 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
14 |
0.073 |
0.010 |
47.855 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
15 |
0.046 |
0.071 |
48.953 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
16 |
-0.033 |
-0.034 |
49.513 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
17 |
0.008 |
0.015 |
49.548 |
0.000 |
|
|
.|* | |
.|. | |
18 |
0.079 |
0.043 |
52.813 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
19 |
-0.061 |
-0.024 |
54.745 |
0.000 |
|
|
.|* | |
.|. | |
20 |
0.076 |
0.062 |
57.736 |
0.000 |
|
|
*|. | |
*|. | |
21 |
-0.081 |
-0.090 |
61.194 |
0.000 |
|
|
.|* | |
.|. | |
22 |
0.098 |
0.067 |
66.268 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
23 |
-0.048 |
-0.009 |
67.462 |
0.000 |
|
|
.|* | |
.|. | |
24 |
0.082 |
0.072 |
71.041 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
25 |
0.053 |
0.062 |
72.548 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
26 |
0.054 |
0.018 |
74.077 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
27 |
-0.053 |
-0.034 |
75.581 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
28 |
0.053 |
-0.001 |
77.091 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
29 |
0.050 |
0.053 |
78.412 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
30 |
0.023 |
-0.009 |
78.701 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
31 |
-0.033 |
-0.007 |
79.273 |
0.000 |
|
|
.|* | |
.|. | |
32 |
0.111 |
0.045 |
85.861 |
0.000 |
|
|
*|. | |
*|. | |
33 |
-0.110 |
-0.098 |
92.410 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
34 |
0.041 |
-0.006 |
93.314 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
35 |
0.033 |
0.026 |
93.916 |
0.000 |
|
|
.|. | |
.|. | |
36 |
0.068 |
0.066 |
96.388 |
0.000 |
Таблица № 3.4
Статистика при построении ARMA и GARCH-моделей выборки №1
|
Dependent Variable: Y |
|||||
|
Method: ML - ARCH |
|||||
|
Date: 03/30/19 Time: 19:44 |
|||||
|
Sample (adjusted): 5 500 |
|||||
|
Included observations: 496 after adjustments |
|||||
|
Convergence achieved after 49 iterations |
|||||
|
MA Backcast: 1 4 |
|||||
|
Presample variance: backcast (parameter = 0.7) |
|||||
|
GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*GARCH(-1) |
|||||
|
Variable |
Coefficient |
Std. Error |
z-Statistic |
Prob. |
|
|
AR(4) |
0.672536 |
0.115060 |
5.845065 |
0.0000 |
|
|
MA(3) |
-0.111949 |
0.033907 |
-3.301606 |
0.0010 |
|
|
MA(4) |
-0.694804 |
0.098885 |
-7.026401 |
0.0000 |
|
|
Variance Equation |
|||||
|
C |
0.000181 |
5.01E-05 |
3.610280 |
0.0003 |
|
|
RESID(-1)^2 |
0.218429 |
0.038013 |
5.746133 |
0.0000 |
|
|
GARCH(-1) |
0.766940 |
0.035632 |
21.52365 |
0.0000 |
|
|
R-squared |
-0.099953 |
Mean dependent var |
0.003746 |
||
|
Adjusted R-squared |
-0.104415 |
S.D. dependent var |
0.064979 |
||
|
S.E. of regression |
0.068287 |
Akaike info criterion |
-2.982576 |
||
|
Sum squared resid |
2.298922 |
Schwarz criterion |
-2.931690 |
||
|
Log likelihood |
745.6789 |
Hannan-Quinn criter. |
-2.962602 |
||
|
Durbin-Watson stat |
1.979866 |
||||
|
Inverted AR Roots |
.91 |
||||
|
Inverted MA Roots |
.95 |
-.03-.91i |
-.03+.91i |
-.88 |
Модель ARMA(4;3,4) для выборки №1 имеет вид (3.4):
Модель GARCH(1;1) для выборки №1 имеет вид (3.5):
Рисунок 3.1 Волатильность доходности выборки №1 в %-годовых
Построение GARCH-модели для выборки №2.
Таблица № 3.5
Проверка на стационарность выборки №2 (тест Дики-Фуллера)
|
Null Hypothesis: Y has a unit root |
|||||
|
Exogenous: Constant |
|||||
|
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=17) |
|||||
|
t-Statistic |
Prob.* |
||||
|
Augmented Dickey-Fuller test statistic |
-21.29452 |
0.0000 |
|||
|
Test critical values: |
1% level |
-3.443228 |
|||
|
5% level |
-2.867112 |
||||
|
10% level |
-2.569800 |
||||
|
*MacKinnon (1996) one-sided p-values. |
|||||
|
Augmented Dickey-Fuller Test Equation |
|||||
|
Dependent Variable: D(Y) |
|||||
|
Method: Least Squares |
|||||
|
Date: 04/06/19 Time: 18:02 |
|||||
|
Sample (adjusted): 2 500 |
|||||
|
Included observations: 499 after adjustments |
|||||
|
Variable |
Coefficient |
Std. Error |
t-Statistic |
Prob. |
|
|
Y(-1) |
-0.954169 |
0.044808 |
-21.29452 |
0.0000 |
|
|
C |
0.004711 |
0.001692 |
2.784735 |
0.0056 |
|
|
R-squared |
0.477093 |
Mean dependent var |
2.89E-06 |
||
|
Adjusted R-squared |
0.476041 |
S.D. dependent var |
0.051759 |
||
|
S.E. of regression |
0.037466 |
Akaike info criterion |
-3.726781 |
||
|
Sum squared resid |
0.697629 |
Schwarz criterion |
-3.709897 |
||
|
Log likelihood |
931.8319 |
Hannan-Quinn criter. |
-3.720155 |
||
|
F-statistic |
453.4565 |
Durbin-Watson stat |
1.990052 |
||
|
Prob(F-statistic) |
0.000000 |
Наблюдаемая статистика Дики-Фуллера меньше критических значений, что свидетельствует о стационарности ряда данных.
Таблица № 3.6 Коррелограмма доходностей выборки №2
|
Date: 04/06/19 Time: 18:04 |
|||||||
|
Sample: 1 500 |
|||||||
|
Included observations: 500 |
|||||||
|
Autocorrelation |
Partial Correlation |
AC |
PAC |
Q-Stat |
Prob |
||
|
.|. | |
.|. | |
1 |
0.046 |
0.046 |
1.0564 |
0.304 |
|
|
*|. | |
*|. | |
2 |
-0.070 |
-0.072 |
3.4979 |
0.174 |
|
|
.|. | |
.|. | |
3 |
0.031 |
0.038 |
3.9871 |
0.263 |
|
|
.|* | |
.|. | |
4 |
0.080 |
0.073 |
7.2649 |
0.123 |
|
|
*|. | |
*|. | |
5 |
-0.066 |
-0.070 |
9.4666 |
0.092 |
|
|
.|. | |
.|. | |
6 |
-0.050 |
-0.034 |
10.739 |
0.097 |
|
|
*|. | |
*|. | |
7 |
-0.066 |
-0.077 |
12.937 |
0.074 |
|
|
.|* | |
.|* | |
8 |
0.102 |
0.104 |
18.252 |
0.019 |
|
|
.|. | |
.|. | |
9 |
0.056 |
0.050 |
19.838 |
0.019 |
|
|
.|. | |
.|* | |
10 |
0.072 |
0.090 |
22.519 |
0.013 |
|
|
.|. | |
.|. | |
11 |
-0.016 |
-0.020 |
22.643 |
0.020 |
|
|
.|. | |
.|. | |
12 |
0.046 |
0.028 |
23.716 |
0.022 |
|
|
.|. | |
.|. | |
13 |
-0.026 |
-0.040 |
24.064 |
0.031 |
|
|
.|. | |
.|. | |
14 |
-0.042 |
-0.036 |
24.956 |
0.035 |
|
|
.|. | |
.|. | |
15 |
-0.031 |
-0.002 |
25.453 |
0.044 |
|
|
.|. | |
.|. | |
16 |
-0.039 |
-0.046 |
26.225 |
0.051 |
|
|
.|. | |
.|. | |
17 |
-0.017 |
-0.002 |
26.376 |
0.068 |
|
|
.|. | |
.|. | |
18 |
0.035 |
0.015 |
27.021 |
0.079 |
|
|
.|. | |
.|. | |
19 |
-0.014 |
-0.019 |
27.129 |
0.102 |
|
|
.|. | |
.|. | |
20 |
0.049 |
0.042 |
28.397 |
0.100 |
|
|
.|. | |
.|. | |
21 |
-0.015 |
-0.031 |
28.516 |
0.126 |
|
|
.|. | |
.|. | |
22 |
0.023 |
0.028 |
28.797 |
0.151 |
|
|
.|. | |
.|. | |
23 |
-0.010 |
-0.008 |
28.851 |
0.185 |
|
|
.|. | |
.|. | |
24 |
0.043 |
0.058 |
29.832 |
0.190 |
|
|
.|. | |
.|. | |
25 |
0.012 |
0.027 |
29.911 |
0.228 |
|
|
*|. | |
*|. | |
26 |
-0.072 |
-0.073 |
32.683 |
0.171 |
|
|
.|. | |
.|. | |
27 |
-0.017 |
-0.002 |
32.833 |
0.203 |
|
|
.|* | |
.|. | |
28 |
0.090 |
0.060 |
37.124 |
0.116 |
|
|
.|. | |
.|. | |
29 |
0.034 |
0.043 |
37.736 |
0.128 |
|
|
.|. | |
.|. | |
30 |
-0.015 |
-0.009 |
37.857 |
0.153 |
|
|
.|. | |
.|. | |
31 |
-0.053 |
-0.052 |
39.355 |
0.144 |
|
|
.|. | |
*|. | |
32 |
-0.044 |
-0.084 |
40.413 |
0.146 |
|
|
*|. | |
*|. | |
33 |
-0.072 |
-0.089 |
43.176 |
0.111 |
|
|
.|. | |
.|. | |
34 |
-0.009 |
0.014 |
43.221 |
0.134 |
|
|
*|. | |
*|. | |
35 |
-0.084 |
-0.066 |
47.067 |
0.084 |
|
|
.|. | |
.|. | |
36 |
0.026 |
0.052 |
47.442 |
0.096 |
| 03. ПФ альтерации |
| 08. Стресс |
| 1-28вопрос -1 |
| 1365 |
| 14 |
| 16 Антианг+ |
| 3767 |
| 4 модуль |
| 5180 |
| 751 |