Материал: Панков Пособие по АСП

В силу связи автокорреляционной функции с нормированной автокорреляционной функцией, понятия спектральной и нормированной спектральной плотности, введенной ранее очень близки.

На приведенном ниже рисунке спектральная плотность в комплексной области обозначена со звездочкой S*( ):

K τ S ei τd

S( ) 1 K τ e i τdτ 2π

Эти две формулы называются формулами (или теоремой) Винера-Хинчина. Теорема Винера-Хинчина эквивалентна теореме Бохнера-Хинчина (с точностью до замены автокорреляционной функции на нормированную

автокорреляционную)

Пример. Найти автоковариационную функцию идеального низкочастотного процесса, у которого спектральная плотность имеет вид:

21

Определение. Эффективной шириной спектра называется величина равная:

DX maxS* S* d

Т.е. площадь под графиком плотности заменяется площадью прямоугольника с высотой S (ω) и шириной Δω:

Аналогично можно ввести

Определение. Эффективной длительностью автокорреляционной функции

(или интервалом корреляции) называется величина Δτ равная:

стационарного в широком смысле случайного процесса.

22

В этом случае площадь под графиком модуля нормированной автокорреляционной функции заменяется площадью прямоугольника с шириной равной Δτ и высотой равной единице.

Обратим внимание, что в этом определении используется нормированная автокорреляционная функция (для этого мы разделили автокорреляционную функцию K на дисперсию DX . А высота прямоугольника равна

максимумум нормированных автокорреляционных функций, который равен значению этой функции в нуле, и равен единице.

Величина Δτ дает ориентировочное представление о том, на каком интервале времени имеет место коррелированность между значениями сечений случайного процесса.

Определение. Дельта-функций Дирака называется функция, определенная как:

Таким образом, дельта-функция при всех значениях аргумента отличных от нуля равна нулю, а при нуле равна бесконечности.

Отметим, однако, что с точкой бесконечность нельзя обращаться как с числом. В данном случае, это символическое изображение, заданное определением, т. е. высота прямоугольника единичной площади, у которого ширина основания стремится к нулю.

Свойства δ x :

2. Фильтрующее свойство :

23

f * 0 d f 0

Пример. Найти спектральную плотность гармонического колебания со случайной начальной фазой:

X t Acos 0t ,

где A и 0 – постоянные, а φ - случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0, 2π].

Легко можно найти (было показано в примере в подтеме о линейных преобразованиях) автокорреляционную функцию K(τ) этого случайного процесса:

Для удобства вычисления в комплексном пространстве здесь косинус мы заменили через экспоненты по формуле Эйлера.

На рисунке изображен спектр случайного процесса в комплексной форме. В действительной форме нужно отбросить отрицательные частоты, а амплитуду при 0 увеличить в два раза.

Белый шум

Определение. Случайный процесс t,t называют белым шумом, если

он является стационарным в широком смысле и обладает постоянной спектральной плотностью c, называемой интенсивностью белого шума:

S S0 с constдля ;

Найдем автокорреляционную функцию белого шума.

Следовательно, любые два сечения белого шума X(t1) и X(t2) при t1≠t2 некоррелированные, т.к. К(τ) = 0, при τ= t1-t2 ≠ 0.

24

Белый шум это удобная математическая абстракция, так как физически такой процесс не реализуем – у него дисперсия равна бесконечности. С помощью этой математической модели упрощается решение многих практических задач. Обращаться к этой модели можно, когда все временные характеристики процесса много больше, чем интервал корреляции и можно считать, что выполняется условие: «Любые два сечения X(t1) и X(t2) при t1≠t2 некоррелированные (слабо коррелированы).

Случайный процесс назвали «белым» по аналогии с белым светом, у которого спектр электромагнитного излучения имеет равномерную мощность по всем длинам волн в видимой части спектра.

состояния в j-е за 1 шаг в момент времени n.

Определение. Цепь Маркова называется однородной во времени, если ее

любой момент времени n.

В дальнейшем мы будем рассматривать однородные цепи Маркова. Определение. Цепь Маркова - конечная, если фазовое пространство E –

конечно (в противном случае цепь Маркова счетна). Обозначим

25