Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

в) Преобразуем данную функцию к виду

y = 12 (x2-2x+1) - 2 = 12 (x-1)2 - 2.

За исходную функцию возьмем y = x2. В данном случае

A = 12 , a = 1, b= -2.

1. Строим график исходной функции y = x2 (рис. 1.5).

Рис. 1.5

2. Уменьшаем ординаты графика функции в два раза и

строим график функции y=					1	x2 .
строим график функции y=						x2 .
				2
3.Сдвигаем по оси абсцисс на 1 единицу вправо точки гра-
1			2				1		2
фика функции y=		x		и строим график функции y =					(x-1) .
фика функции y=	2	x		и строим график функции y =				2	(x-1) .
4. Опускаем точки графика функции на 2							единицы вниз и
строим график данной функции.

г) Преобразуем функцию к виду y=3-												10	=3-		5		и
г) Преобразуем функцию к виду y=3-												2x + 3	=3-	x +		3	и
												2x + 3				3
																2
								1							1	2	5
устанавливаем переход от функции y=								1			к заданной:				1	,	5	,
устанавливаем переход от функции y=									x		к заданной:				x	,	x	,
	5		5			5			x						x		x
-	5	, -	5		, 3-	5				.
-		, -	3		, 3-	3				.
	x		3			3
			x +			x +
			x +	2		x +	2

Выполняем следующие последовательные преобразования (рис. 1.6): строим пока только одну ветвь гиперболы; растягиваем по оси Оу в пять раз; заменяем графиком, симметричным относительно оси Ох; строим вторую ветвь гиперболы; делаем горизонтальный сдвиг координатной

системы на 3 единицы вправо и вертикальный сдвиг на 3

единицы вниз.

Рис. 1.6

3.7. Показать, что функции у

4x −9

и х =

9 + 2 y

являются взаимно обратными.

Решение. Подставим во вторую функцию вместо у его

9 + 2

4x −9

выражение через х, тогда получим

ϕ (f(x))=

= x,

х его

Аналогично, подставляя в первую

функцию

вместо

−9 + 4

9 + 2 y

выражение через у имеем f(ϕ (y)) =

−= y .

1.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

10. Число b называется пределом функции f(x) при х → а, если для любого ε >0 найдется такое δ >0, что | f (х) - b|< ε как

только |х — а| < δ . Обозначают предел lim f (x) = b .

x→a

Предел функции f(х), если он существует, при стремлении

x к a справа обозначают lim f (x) .

x→a+0

Аналогично, предел функции при стремлении х к а слева

обозначают				lim		f (x) .
			x→a −			0
20. Теоремы о пределах.
1.	Предел постоянной равен самой постоянной.
2. lim (u + v)= lim и + lim v.
3. lim(u v) = lim и lim v.
4. lim		u	=		limu		, если limv ≠0.
4. lim			=				, если limv ≠0.
		v			limv
30. Замечательные пределы.								sin x
1.	Первый замечательный предел lim							sin x	=1 .
1.	Первый замечательный предел lim							x	=1 .
							x→0	x
2.	Второй замечательный предел

lim (1+

)x =lim(1+α)

= e = 2,718....

x→∞

α →0

40. Некоторые важные пределы:

lim

loga (1+α)

= loga

e ;

lim

aα −1

= ln a ;

α→0

loga x

a→0

lim

+α)μ

= μ ;

lim

= lim x

loga x = 0 (a>1, k>0).

α →0

x→∞

x→0

50. Неопределенность вида

раскрывается, как правило,

делением числителя и знаменателя на множитель, стремящийся к нулю, или с помощью первого замечательного предела.

60. Неопределенность вида ( ∞− ∞) раскрывается делением на х в старшей степени.

70. Неопределенность вида (0 ∞) и ( ∞− ∞) раскрывается

путем преобразования функции к неопределенностям 0 или

( ∞− ∞).

80. Неопределенность вида (1∞ ) раскрывается посредством преобразования предела ко второму замечательному пределу.

90. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) называются

эквивалентными, если lim	α(x)	=1 .
x→α	β(x)
При раскрытии неопределенностей			0	можно пользоваться
При раскрытии неопределенностей				можно пользоваться
		0

следующим правилом.

Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если их под знаком предела заменить на эквивалентные. Обозначая эквивалентность бесконечно малых следующим образом α(x) β(x) при x → 0, запишем наиболее известные

sinα(x) α(x) ,		arctgα(x) α(x) ,				aα( x) −1		α(x) lna,
tgα(x) α(x) , 1 –		cosα(x)		1	α2 (x) ,	eα ( x) −1		α(x) ,

		2			α(x) ,
arcsinα(x) α(x) ,		ln(1+α(x) )
n 1+α(x) − 1	α(x)		.

		n						x2 −4
4.1. Найти			пределы:		а)	lim			;
							x2	+6x −16
						x→2

б)	lim			x2 +5x +4		;
				2x2 + x −1
	x	→−1
г)	lim		sin x −cos x		.

	x→	π		tgx −1
		4

Решение: а)

знаменатель

lim

x→2

в)	lim	x5	− x4 +2x2 −5x +3		;
			x3 +4x2 −	7x + 2
	x→1

Разложим на множители числитель и

x2	− 4	= lim	(x − 2)(x + 2)	.
x2 +	6x −16		(x − 2)(x +8)
		x→2

Сокращая на (x – 2), будем иметь lim	x + 2	=		4	= 0,4.
	x +8		10
x→2

б) Разлагаем числитель и знаменатель на множители

lim	(x +1)(x + 4)	= lim	x + 4	= −	3	= −1.
	(2x −1)(x +1)		2x −1		3
x→−1		x→−1

в) Поскольку при x = 1 многочлены в числителе и знаменателе обращаются в ноль, то их можно разложить на множители, причем одним из сомножителей будет (х - 1). Тогда, деля многочлены на (х - 1) получим

lim

(x −1)(x4

+ 2x −3)

1+ 2 −3

= 0.

(x −1)(x2

+5x −2)

1+5 −2

x→1

г) Выполнив очевидные преобразования, получим

lim

sin x −cos x

= lim

(sin x −cos x)cos x

= lim cos x =

2 .

x→

tgx −1

x→

sin x − cos x

x→

100

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27