Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

π

limαtg π (1 −α)

= limαctg

π

α =lim

α cos 2 α

=

2

α →0

2

α →0

α →0

sin

π

α

π

2

2

α

π α =

2

=

lim

2

limcos

.

π

π α →0

sin

α

α →0

2

π

2

n

=

1

, получим

б) Полагая 3

x

lim 3n tg3−n = lim

1

tgx = lim

sin x

=1.

n→∞

x

→0

x

x→0 x cos x

4.7. Найти пределы: а) lim

x

+

4 5x

x

+ 2

1+3x

; б) lim

;

x

x

+1

x

→∞

x→∞

2

+ 5

2+3x 2

x −1

3−2 x

x

в) lim

;

г) lim

.

2

+ 2

2x

x→∞ x

x→∞

Решение. а) Разделим почленно числитель на x

4

5x

4

x

20

4

lim

1 +

=lim

1 +

.

x→∞

x

x→∞

x

Если сделать замену х = 4t, то при х→ ∞,

t→ ∞ и

4

x

20

1 t

20

4

20

lim

1+

=

lim

1+

t

= e

.

x

x→∞

t→∞

б) Выделим целую часть и почленно разделим числитель

на знаменатель

x

+1 +1 1+3x

1

1+3x

lim

= lim 1 +

.

x +

x→∞

x +1

x→∞

1

Сделаем замену x+1=t. Тогда при x → ∞,

t → ∞ и предел

1 3t −2

1 t 3

1 −2

3

примет вид

lim 1

+

= lim 1

+

t

lim 1

+

t

= e

,

t

t →∞

t→∞

t→∞

2

+ 2 + 3

2+3x 2

3

2+3x2

x

lim

= lim 1

+

.

x

2

+ 2

x

2

+ 2

x→∞

x→∞

1 9t−4

1

t

9

1 −4

9

.

lim 1+

= lim 1+

t

lim

1+

= e

t→∞

t

t

→∞

t→∞

t

г) Представим предел в виде

1

1

3−2 x

1

3−2 x

1

3−2 x

lim 1 −

=lim 1

−

lim

.

x

2

x

2

x→∞

x→∞

x

→∞

В первом пределе сделаем замену -

1

= t. Тогда при х→∞,

t→0 и предел примет вид

x

lim (1+t

2

+3 lim

2 x

2 x

)

2 3

= e2 lim

2

= ∞.

t

t→0

x→∞

2

x→∞

8

2

ln(1 + x)

2

4.8. Найти пределы: а) lim(1 + 5x)

, б)

lim

;

x

e−x −1

a3x

x→0

x→0

x

в) lim

; г) lim

−1

; д) lim(1 + 2tg 2 x)ctg 2 x ;

x→0

x

x

→0

x

x

→0

10

= lim (1 + t)1t

10

= e10

lim(1 + t)

t

t

→0

t →0

б) Сделаем преобразования

lim

ln(1+ x)2

1

1

x

= 2lim

x

ln(1+ x) = 2lim ln(1+ x)x =

x→0

x→0

x

→0

1

= 2ln lim(1+ x)

x

= 2ln e = 2 .

x→0

в) Полагая e-x - 1= t, получим, что при х→0,

t→0.

ex =

1

,

x = ln

1

.

t

+

1

t

+1

Таким образом,

lim

t

= −lim

1

= −

1

= −1.

ln(t +1)−1

1

1

t →0

t →0

ln(t +1)t

ln lim(t +1)t

t →0

г) Полагая

a3x - 1 = t,

получим,

что

при

x→0, t→0.

Преобразуем замену

ln(t +1)

a3x= t+1; 3xlna = ln(t+1); x =

.

Отсюда

3ln a

3t ln a

1

lim

= 3ln a

= 3ln a .

1

t →0 ln(t +1)

limln(t

+1)t

t →0

lim

a3x −1

= lim3

a3x −1

= 3ln a .

x

3x

x→0

x→0

д) Делаем замену

tg 2 x = t.

При x→0,

t→0 и предел

примет вид

1

2

1

lim(1 + 2t)t = lim (1 + 2t)

= e2 .

2t

t →0

t

→0

е) Делаем замену sin 2х = 1+t. При x→π

,

t→0.

Представим

4

(1 + t)2

(1 + t) 2

tg22x =

sin2 2x

=

= −

.

1 −sin2 2x

1 −(1 + t)2

t(2 + t)

Тогда

(1+t)

(1

+t )1t

−

2

1

1

lim

2+t

= e−2

=

.

t→0

e

ж) Сделаем следующие преобразования

lim

esin 2 x

−esin x

esin x (esin 2 x−sin x

−1)

=

x

= lim

x

x→0

x→0

= lim

esin x (esin 2 x−sin x −1)(sin 2x −sin x)

= lim

sin 2x −sin x

x(sin 2x −sin x)

x

=

x→0

x→0

= 2 lim sin 2x −lim sin x = 2 −1 =1.

x

→0

2x

x→0

x

з) Воспользовавшись свойствами логарифмов, имеем

x x

x + 2

−x

lim xx(ln x −ln(x + 2)) = lim ln

= lim ln

=

x→∞

x→∞

x +2

x→∞

x

2 −x

2

x

−2

= ln lim

+

2

= ln e

−2

= −2 .

= ln lim 1+

1

x

x→∞

x

x→∞

4.9. Найти пределы: a) lim xsin x ; 6) lim

1

(ln x) x .

x→0

x→∞

Решение. a) Неопределенность

вида 0°. Обозначая

limln y = lim sin x lim x ln x = 0, следовательно, lim xsin x =1.

x→0

x→0

x

x→0

x→0

lim ln y = lim

ln ln x

ln x

= 0, следовательно,

x→+∞

x→+∞

ln x

x

lim

1

=1 .

(ln x)x

x→+∞

(e2 x3 −1)sin 3x

4.10. Найти пределы: a) lim

;

ln(1 −3x2 )(1 −cos 2x)

x→0

б) lim

( 1 + sin x −1)arctg3x).

x→0

(etgx −1)arctg2x