Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н
Рис. 1.16
5.9. Найти точки разрыва функции и построить график в
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
окрестности точек разрыва: а) f(x)= |
2 |
|
x +1 |
|
; б ) f(x)=3 |
|
. . |
||||||||||||||
|
|
x 2 −1 |
|||||||||||||||||||
x2 − x − 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. а) Приравнивая знаменатель к нулю, находим |
|||||||||||||||||||||
корни и преобразуем выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
x +1 |
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
x +1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
|
− x − |
|
2 |
|
(x + |
|
1)(x − 2) |
|||||||||||||
Функция не определена в |
|
точках |
х = -1 и х = 2 и, |
||||||||||||||||||
следовательно, имеет в этих точках разрывы. Находим односторонние пределы для точки х = -1:
1. При x→-1-0, |
х + 1<0 и, следовательно, |х+1| = -(х+1). |
|||||||||||||||||
Отсюда f(-1-0)= |
lim |
− (x +1)2 |
|
= −2 |
|
lim |
|
1 |
= |
2 |
. |
|||||||
(x +1)(x − 2) |
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
x→−1−0 |
|
|
x→−1−0 x − 2 |
|
|
|||||||||||
2. При x→-1+0 |
x+1>0, |
|
|
x +1 |
|
= x +1 |
и |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f(-1+0) = lim |
|
2(x +1) |
= 2 lim |
1 |
|
= − |
2 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→−1+0 (x +1)(x −2) |
x→−1+0 x −2 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
Поскольку оба предела конечны и не равны, то точка х = -1
— точка разрыва первого рода. 121
Находим скачок функции (рис. 1.17)
δ= f (−1 + 0) − f (−1 − 0) = − 23 − 23 = − 43 .
Вокрестности точки x=2 x+1>0 , следовательно, |х+1| = х+1 и односторонние пределы будут
f(2-0) = |
lim |
2(x +1) |
= 2 |
lim |
1 |
|
= −∞, |
||
(x +1)(x − 2) |
x − 2 |
||||||||
|
x→2−0 |
|
x→2−0 |
|
|
||||
f(2+0)= |
lim |
|
2(x +1) |
= 2 |
lim |
1 |
|
= ∞. |
|
|
(x +1)(x − 2) |
x − 2 |
|
||||||
|
x→2+0 |
|
x→2+0 |
|
|
||||
Таким образом, точка х=2—точка разрыва второго рода.
Рис. 1.17
б) Данная показательная функция не определена в точках x= -1 и x= 1 и, следовательно, имеет в этих точках разрывы.
Найдем односторонние пределы, учитывая, что а > 1, то
есть a' →+∞ при |
t=+∞ и a' →0 при t→-∞. |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1. Для точки |
х = -1 при |
x→-1-0, |
x2 – 1 > 0, |
|
< 0 |
и |
||||||||||||||
|
|
x2 |
−1 |
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
→ −∞. Отсюда f(-1-0) = |
lim 3 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 −1 |
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x→−1−0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
При x→-1+0, |
x2-1<0, |
|
|
|
< 0, |
и |
|
|
|
→ ∞. |
|
|
||||||||
|
|
x2 −1 |
|
x |
2 −1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
122
x
Следовательно, f(- 1+0) = lim 3x 2 −1 = +∞ .
x→−1+0
Таким образом, точка х = -1 —точка разрыва второго рода.
2. Рассмотрим точку х = 1. Находим пределы
|
x |
|
x |
||
f(1 - 0) = lim 3 |
x 2 −1 |
= 0, |
f(1 + 0) = lim 3 |
x 2 −1 |
= +∞, |
x→1−0 |
x→1+0 |
||||
функция в точке х = 1 имеет также разрыв второго рода.
Найдем теперь пределы при |
х → ± ∞ . |
|
|||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
f (-∞) = lim 3 |
x2 −1 |
|
=1, f (∞) = |
lim 3x2 −1 |
=1 . |
||
x→−∞ |
|
x→+∞ |
|
||||
График функции показан на рис. 1.18.
Рис. 1.18
123
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2.1. Вычисление производных
10. Производной от функции у = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента
|
|
|
|
lim |
|
f (x0 |
+ x) − f (x) |
= lim |
y |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|||
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
x →0 |
|
|
|||
Если этот предел конечный, то функция называется |
|||||||||||||
дифференцируемой в точке x 0. |
|
|
|
|
|
||||||||
Производная обычно обозначается y‘ |
или |
yx’ , или f’‘(x), |
|||||||||||
или |
|
dy |
. |
Нахождение |
производной |
называется |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцированием функции. |
|
|
x = a |
|
|||||||||
Частное |
значение |
производной при |
обозначается |
||||||||||
f ‘(a) |
или y ‘ x = a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Геометрически производная y‘(x0) |
функции y = f(х) |
||||||||||||
представляет |
угловой |
коэффициент |
|
k = tgα = y‘(x0) |
|||||||||
касательной к графику этой функции в точке х0 (рис.2.1).
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа |
f ' |
(x ) = lim |
y(x0 ) |
|
и |
f ' |
(x ) = lim |
y(x0 ) |
|
|||
|
|
|||||||||||
|
− |
0 |
x→−0 |
x |
|
+ |
|
0 |
x→+0 |
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
называются |
соответственно |
левой |
и |
правой |
|
производными |
||||||
124
функции у = f(x) в точке x0 . Для существования производной функции f (х) в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производные в этой точке существовали и были равны между собой: f−' (x0 ) = f+' (x0 ) .
Если существует (конечный или нет) предел
lim |
f (x) = M , то такова же будет и производная в точке x0 |
||
x→x0 ±0 |
|
|
|
справа (слева). |
|
|
|
Если в точке x0 производная не определена, но функция |
|||
имеет |
различные односторонние пределы lim |
y(x0 ) |
и |
|
x→0− |
x |
|
y(x0 ) , то в этой точке графика функции существуют две x
различные с соответствующими угловыми коэффициентами k 1 , k 2 односторонние касательные, составляющие угол (рис. 2.2), а точка называется угловой.
|
|
|
Рис. 2.2 |
Если |
lim |
y(x1) |
= ±∞, то есть функция имеет |
|
x→0 |
x |
|
бесконечную производную, то она не дифференцируема в этой точке. В этом случае график функции имеет вертикальную касательную (точка перегиба).
Если в точке x2 |
функция |
имеет |
бесконечные |
односторонние производные |
разных |
знаков, |
то график |
125