Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		Рис. 1.8
в) Функция	определена		на	всей		числовой оси,
неэлементарная,	так как	в	точке		x = 2	аналитическое
выражение функции меняется.
Исследуем непрерывность функции в точке х = 2:
lim 2x = 4 ,	lim 2x = 4 ,	y(2)=1,		k1	= k2 ≠ k3 .
x→2−0	x→2+0

Очевидно, что в точке х = 2 функция имеет устранимый разрыв (рис. 1.9).

г) Найдём пределы:		Рис. 1.9

1		1
y(+0) = lim a	x	= +∞, y(-0) = lim a	x	= 0.
x→+0		x→−0

Вточке x=0 справа функция имеет разрыв второго рода,

аслева — непрерывность (рис. 1.10).

116

д) Найдем пределы:					Рис. 1.10
			π					π .
y(+0)= lim arctg	1	=		,	y(-0)= lim arctg	1	= −
	x		2			x
x→+0					x→−0			2

В точке x=0 с обеих сторон скачки (рис. 1.11).

	Рис. 1.11
5.7. Дана функция	1
	y =		,	и три значения
		x2 + 4x −5
аргумента x1 = -5, x2 = 0,	x3 = 1. Выяснить,			является ли данная

функция непрерывной или разрывной для каждого из данных

значений х? Сделать чертеж.
Решение. Исследуем		непрерывность			функции в точке
x = -5:	1				1
lim		= ∞, lim				= −∞ .
	x2 + 4x −5		x2	+ 4x −5
x→−5−0		x→−5+0
		117

Следовательно, при х1 = -5 функция имеет разрыв второго рода (рис. 1.12).

Рис. 1.12

При x2 = 0 пределы слева и справа равны:

lim

= −1/ 5,

lim

= −1/ 5,

y(0) = -1/5,

+ 4x −5

x→−0 x2

x→+0 x2

следовательно, функция в этой точке непрерывна.

Исследуем непрерывность функции в точке x3=1:

lim

= −∞,

lim

= ∞.

2 + 4x −5

+ 4x −5

x→1−0 x

x→1+0 x2

Следовательно, при х = 1 функция имеет разрыв второго.

Точки х = 1 и х = -5

являются вертикальными асимптотами.

5.8.Найти точки разрыва функции, если они существуют,

исделать чертеж:

, x ≤1;

, x ≤ −1;

а) y=

1, 1 < x ≤ 3;

б) y= x +1, −1 < x ≤ 0;

− x + 5, x > 3;

cos x, x > 0.

x = 0 и x = ±3;

2x −1, x < 0;

в) y=

9 − x2 , 0 <

≤ 3;

г) y=

, x ≥ 0.

> 3.

x −1

118

Решение. a) Функция неэлементарная, так как задана тремя аналитическими выражениями на различных промежутках изменения аргумента, определена на всем множестве действительных чисел.

Исследуем непрерывность функции в точках х = 1 и

х = 3: y(1) = lim x2 =1; y(3) =1;	lim (−x + 5) = 2 = k.
x→1−0	x→3+0

Таким образом, в точке х = 1 функция непрерывна, а в точке х = 3 терпит разрыв первого рода (рис. 1.13) и имеет

скачок, равный y(3) − k = 1 − 2 =1.

Рис. 1.13

б) Функция определена на всем множестве чисел и неэлементарная.

Исследуем непрерывность функции в точках х = -1 и х = 0:

y(-1) =	1	,	lim (x +1) = 0; y(0) =1;	lim cos x =1.
	2
			x→−1+0	x→+0

Таким образом, функция в точке x = -1 имеет разрыв первого рода, а в точке х = 0 непрерывна (рис. 1.14).

Рис. 1.14

119

в) Функция определена на всей числовой оси, неэлементарная.

Исследуем непрерывность функции в точках х = - 3 , x=0, x= 3:

y(-3)=3,	lim	(9 − x2 ) = 0; y(−3 − 0) = 9;
	x→−3+0
y(0)=3,	lim (9 − x2 ) = 9; lim y(9 − x2 ) = 9;
	x→−0	x→+0
y(3)=3,	lim	(9 − x2 ) = 0; y(3 + 0) = 9.
	x→3−0

Таким образом, функция в точках х = -3 и х = 3 имеет разрывы первого рода, а в точке x = 0 устранимый разрыв

(рис. 1.15).

Рис.1.15

г) Функция неэлементарная и определена везде кроме точки x = 1. Исследуем непрерывность функции в точках х = 0

и х = 1:

lim (2x −1) = −1,	y(0) = −1, lim	1	= −∞, lim	1	= ∞.
		x −1		x −1
x→−0	x→−0		x→+0
Таким образом,	функция в точке х = 0 непрерывна, а в

точке х = 1 имеет разрыв второго рода (рис. 1.16).

120

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27