Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

1. (Cu)’=Cu’;

2. (u+v)’ = u’ + v’ ;

3. (uv)’ =u'v + v'u;

u

'

=

u'v −uv'

4.

,

v2

v

где u ,v — некоторые функции от x, a С - постоянная

величина.

30. Таблица производных основных функций:

1. (xn)’=nxn-1;

2. y = C, y’= 0;

3. (sin x)’= cos x ;

4. (cos x)’= - sin x;

5. (tg x)’ =

1

;

6.

(ctg x)’ = -

1

;

cos2 x

sin2 x

7. (ax)’ = ax lna, a>0;

8.

(ex)’ = ex;

1

’

1

’

9. (logax) =

, a≠1, a>0;

10.

(ln x) =

;

x ln a

x

11. (arcsin x)’=

1

; 12. (arcos x)’ = -

1

;

1 − x2

1 − x2

13. (arctg x)’ =

1

;

14. (arcctg x)’ = -

1

;

1

+ x2

1 + x2

16. (ch x)’ = sh x;

15. (sh x)’ = ch x;

17. (th)’ =

1

;

18. (ctg x)’ = -

1

;

2

2

x

ch x

sh

40. Гиперболический синус, косинус, тангенс и котангенс

определяются выражениями

sh x=

ex

− e−x

; ch x =

ex + e−x

; th x =

shx

; cth x =

chx

и

2

2

chx

shx

обладают свойствами:

1. ch2 x – sh 2x =1;

2. ch2 x – sh 2x = ch2x;

3. sh2x = 2shxchx;

4.

sh0 = 0;

ch0 = l.

производные от функций:

а) у=х2 - Зх + 5; 6) у =

x ; в) y = tg2x.

Решение. а) Находим приращение функции

y = y(x+

x) – y = (x +

x)2 – 3(x+

x) + 5 – x2 +3x -5= x2 +

2x x +

x2 – 3x -3 x+5 - x2 +3x -5 = 2x

x + x2 - 3 x.

По определению производной имеем

’

lim

y

lim

2x x +

x2 −3 x

=

y =

x→0

x = x→0

x

= lim (2x −3 + x)= 2x −3.

x→0

б) Приращение функции равно:

y=

x +

x −

x .

По определению производной имеем:

у‘ = lim

y = lim

x +

x −

x =

x→0

x

x→0

x

= lim ( x +

x −

x )( x +

x +

x ) =

x→0

x(

x +

x +

x )

= lim

x + x − x

= lim

1

x )

=

1 .

x→0

x( x + x +

x )

x→0 ( x + x +

2 x

в) Находим приращение функции

y = tg(2x + 2

x) - tg2x =

=

sin(2x + 2

x) cos 2x −sin 2x cos(2x + 2

x)

=

cos(2x + 2 x) cos 2x

=

sin(2

x)

.

cos(2x + 2

x)cos 2x

2 x

,

x > 0;

y'

=

2e

2 x

− 2e

, x < 0.

г) Представим функцию в виде

2x,

x >1;

y =

−1 < x <1;

2,

x < −1,

− 2x,

тогда

x >1;

2,

y'

=

0, −1 < x <1;

x < −1.

− 2,

y-‘(x0),

y+’(x0)

1.3. Найти производные

для функций:

а)

y =

x,

x ≤1;

x0 = 1;

+ 2x, x >

− x2

1,

б) y = 1 − e−x 2 , x = 0;

0

в) y =

2 − x

+

2 + x

, x0 = ±2.

Решение. а) Находим производную

y'

=

1,

x ≤1;

x >1

− 2x + 2,

и вычислим пределы производной слева и справа в точке

x0=1:

y−′(1) = lim 1 =1,

y+′ = lim (−2x + 2) = 0.

x→1−0

x→1+0

б)

Находим производную y'

=

x

и вычислим

ex 2

1 − e−x 2

пределы производной слева и справа в точке x0:

y−′(0) = lim

x

= −1,

ex2

x

→−0

ex2 −1

y+′(0) = lim

x

=1.

ex2 −1

x→+0 ex2

1.4. Найти производные: а) y =

x3

−

3

+ 4 x −5

;

2

x2

x2

x3

3

2

+1,

б) y = x cos x; в) y

=

; г) y =

− x

x2 +1

3

′

f

′

f

′

вычислить f (0),

(1),

(−1).