Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 2.6

Производная для различных участков будет

	1		,		x ≥ 0;

	+ x	2
y′ = 1
	1					, x < 0,
−
	1 + x			2

			y−′(0) =					1
производная слева					lim	−				= −1;
производная слева					lim	−				= −1;
			1	x→−0			1 + x2
справа	y+′ (0) = lim		1	=1.
справа	y+′ (0) = lim		1 + x2	=1.
		x→+0	1 + x2
1.11. Найти производные функций, обратных к заданным:
а) y = sh x; б) y = ch х; в) у = th х; г) y = cth х.
Решение. а) По правилу дифференцирования обратной
функции получим
	′	1	1		1				1
( Arshy) = y′x = chx =				1 + sh2 x			=		y2 +1 ,
отсюда, переходя к обычным обозначениям, имеем
	′	1
( Arshx) =		1 + x2 .
б) По правилам дифференцирования обратной функции
	′	1	1		1
имеем	( Archy)	= y′x	= shx	=	y2 −1			,
					136

′

( x >1).

откуда ( Archx)

x2 −1

в)

производная

обратной

функции

равна

′

( Arthy) =

= ch

x =

y′x

1 −tg 2 x

1 − y2

откуда ( Arthx)′

(

<1).

1 − x2

г)

производная

обратной

функции

равна

′

( Arcthy) =

= −sh

= −

y′x

ctg 2 x −1

y2 −1

′

(

>1).

откуда ( Arcthx)

= − x2 −1,

1.12. Пользуясь результатами предыдущего примера,

найти производные: а) y = Archln х; б) y = Arcth

x2 +1

Решение.

а) По

правилу дифференцирования

сложных

функций имеем y

′

ln2 −1

x = x

ln2 x −1 .

б) Функция сложная, поэтому

′

2(x2 +1) − 2x 2x

2(x2 +1)

= − 2x

(x2 +1)2

= − (x2 −1)2 .

−1

2.2. Производные функций, не являющихся явно заданными

10. Пусть функция y задана уравнением f(х,у) = 0, не разрешенным относительно у, то есть у есть неявная функция

от х.	y
Чтобы найти производную от неявной функции

аргумента x дифференцируем по х обе части этого равенства, считая у функцией x. Из полученного равенства определяем

137

искомую производную y', которая, как правило, будет зависеть

oт

x и y

у’=ϕ (х ,у).

20. Если

функциональная

зависимость

между

переменными x

и y

задана параметрически

x = ϕ(t);

y =ψ (t),

yt′

xt′

то производная от y

по x: равна y′x =

, а от х по y:

x′y =

xt′

yt′

30. Логарифмическое дифференцирование. Если y = uv, то

′

= vu

v −1 ′

′

+ u

v ln u, т. е. производная показательно-степенной

функции состоит из двух слагаемых: первое получается, если рассматривать функцию при дифференцировании как степенную, второе как показательную.

40. Если основание логарифма logv и является некоторой функцией x, то при нахождении производной целесообразно перейти к натуральным логарифмам

y= logv u = lnlnuv , u=u(x), v=v(x).

2.1.Найти производные y′x : а) y = cos(x+y);

б) ey + 4xy − x2 =1; и производные х’y: в) xlny-ylnx = 1;

г) х2у2 - 4lnу = 2lпх.

Решение. а) Дифференцируем обе части по х, считая y сложной функцией, зависящей от х

y’=-sin(x+y)(1+y’)=-sin(x+y)-y’sin(x+y). Откуда y’ (1 + sin(x + y)) = - sin(x+y)

	y	′		sin(x + y)
или			= −1	+ sin(x + y) .

б) Дифференцируя обе части равенства по х, получим eyy’+ 4(y+xy’) - 2x = 0.

Разрешая равенство относительно y', получим

138

y′ =

2(x − 2 y)

ey + 4x

в) Дифференцируем обе части равенства по у, считая х

сложной функцией, зависящей от y

′

y − (ln x + y x

= 0.

x ln y

x )

Разрешая равенство относительно х', получим

ln x −

′

ln y −

y .

г) Дифференцируем обе части равенства по у

′

+ 2x

−

= 2

′

2xx y

x x .

− x2 y

′

x(2 − x2 y2 )

Отсюда

x =

xy2 −

y(x2 y2 −1)

2.2. Найти производные у'x:

= e

cos 2t

;

а)

x = cos

б)

32t;

= ln sin t;

;

y = sin

и производные х’y:

= tg ϕ ;

x = arctg

t ;

г)

в)

y =

;

= ln cos

1 + t

Решение. а) Находим

= −

cos 12 t sin t и

sin 12 t cost .

139

3 sin 12 t cost
Отсюда y′ = 2	= − ctgt .

−32 cos 12 t sin t

6)Находим dxdt = −2ecos 2t sin 2t и dydt = cossin tt = ctgt .x

Отсюда y′x

= −

4ecos 2t

sin2 t

в)

Находим

2t(1 + t) −t2

+ 2t

(1 + t)2

+ t)2

2 t

1 + t

t (1 + t)

Отсюда

(1 + t)2

1 + t

t (1 + t)t(t +

2t 32 (t + 2)

1 sin

г) Находим

= −

dϕ

2 ϕ

cos

2 2

cos

Отсюда

x′y

= −

2cos

sinϕ

2.3. Найти производные: a) y = xx2 ; б)

y = xsin 2 x ;

в) y = (x −1)2 3

x + 2 ;

г)

y = x2ex3

sin 3xthx .

(x −3)3

Решение. а) Прологарифмируем правую и левую часть lny = x2lnx.

Найдем производные от правой и левой части по x, считая y сложной функцией, зависящей от х

140

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27