Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

y′

=

1

=

x

−1

;

y′′

= −1 x

−2

;

y′′′

=1

2x

−3

;

y

(4)

= −1 2 3x

−4

x

и т.д.

Отсюда y(n)

= (−1)n−1(n −1)!x−n

(См. 3. пункт 5°).

д) Поскольку функция у представляет произведение двух

функций

u = e−x ;v = sin x ,

то

применяя

формулу

Лейбница

y

(4)

= (uv)

(4)

= u

(4)

v +

′′′ ′

+

′′

′′

+

′

′′′

+ uv

(4)

(4) ,

4u v

6u v

4u v

получим

y(4)

= e−x sin x − 4e−x cos x − 6e−x sin x + 4e−x cos x + e−x sin x

3.2. Найти производные указанного порядка:

а)

e

y

+ xy = e, y′′? ;

б) y = x + arctg

y

, y′′?;

2

в)

y

3

= x

3

+

3xy,

x

′′

?;

г) cos(xy) = x

2

′′

, x ?;

д)

x

3

+ y

3

=

1, y

′′′

?;

e)

x = tg(x + y),

′′′

?

x

Решение. а) Дифференцируем правую и левую часть по х

e

y

y

′

+ y + xy

′

y

′

y

= 0,

откуда

= − ey + x.

Дифференцируем еще один раз по х

′

y

+ x) − y(e

y

y

′

+1)

y′′

= −

y

(e

.

(ey + x)2

Подставляя в последнее выражение значение у', получим

y

(e

y

+ x) + y(−e

y

y

+1)

2 y −

y2ey

y

′′

ey + x

ey + x

ey

+ x

=

(ey + x)2

=

(ey + x)2

=

=

2 y(ey + x) + y2ey

.

(ey + x)3

′

1

y′

′

4 + y2

y

=1

+

y

2 2 , откуда y

=

4 + y2 −1.

1 +

2

2 yy′

( 4 + y2 −1) − 4 + y

2

1 2 yy′

2

2

4 + y2

y′′ =

4 + y2

=

(

4 + y2

−1)2

= −

y

.

( 4 + y2 −1)3

в) Дифференцируем правую и левую часть по у

2

2

′

′

′

y2 − x

3y

=

3x

x

= x2 + y .

+

3(x y + x),

x

Дифференцируем

еще

раз

по

у

′

2

+ y) − ( y

2

− x)(2xx

′

+1)

′′

=

(2 y − x )(x

.

x

(x2 + y2 )

Подставляя

в

последнее

выражение х',

получим

2 y(x

2

+ y) −

( y

2

− x) −

( y2 − x)2 2x

− ( y

2

− x)

′′

x2 + y

=

=

x

(x2 + y)2

=

2 y(x2 + y)2 − 2( y2 − x)(x2

+ y) − 2( y2 − x)2 x

.

(x2 + y)3

г)

Дифференцируем

обе

части

по

у

′

′

′

xsin(xy)

−sin(xy)(x y

+ x)

= 2xx

, откуда x

= −

.

2x + y sin(xy)

′

=

′

′

x

(−((x

sin(xy) + x cos(xy)(x y + x))(2x + y sin(xy)) − xsin(xy)

(2x

′

′

+ x)))) /((2x + y sin(xy))

2

+ sin(xy) + y cos(xy)(x y

д) Дифференцируем обе части по х

2

2

2

′

′

x

3x

+ 3y

y

= 0 , откуда

y

= −

.

y

Дифференцируем еще раз по х

x y − xy′

xy + x

2

x2

xy3 + x4

y

′′

y2

= −2 y y2

= −2

y3

= −2

y5 .

Для нахождения

y′′′

дифференцируем еще один раз по х

y′′′ = −2

( y3 + xy2 y′+ 4x3 ) y5 −5(xy3 + x4 ) y4 y′

=

y10

( y3 + 3x3 ) y3

+ 5( y3 + x3 )x3

y6

+8x3 y3 + 5x6

= −2

= −2

.

y8

y8

x′

1

cos2 (x + y)

1

=

= −

.

cos2 (x + y)

cos2 (x + y) −1

sin2 (x + y)

Дифференцируем еще раз по у

′

3

(x + y)

′′

cos(x + y)(x +1)

cos

= 2

sin3 (x + y)

= −2 sin5 (x + y) .

x

2 ϕ

t −1

x = cos

2 ,

d 2 x

= 2

,

d 2 x

x

в)

?

г)

1

?

ϕ

dy2

(t2

+1), dy2

2

,

y

=

y = sin

2

4

x = arcsin t,

x = a cosϕ,

d

3

y

d

3

x

д)

? е)

?

= ln t,

dy3

y = a sinϕ,

dx3

y

Решение. а) Найдем первую производную

dy

=

yt′

=

2t

.

dx

ln t +1

xt′

Вторую производную находим по формуле

2(ln t +1)

− 2t

1

d 2 y

( y′x )′t

t

2ln t

=

=

(ln t +1)2

=

.

dx2

xt′

ln t +

1

(ln t +1)3

б) Первая производная равна

dy

=

yt′

=

2cos 2t

=

cos 2t

.

dx

xt′

− 2sin t + 2sin 2t

sin 2t −sin t

d 2 y

=

y x −

x y

=

dx2

x

3

=

−4sin 2t(−2sin t + 2sin 2t) −(−2 cos t + 4 cos 2t)2 cos 2t

(−2sin t + 2sin 2t)3

в) Находим первую производную

dx

xϕ′

−2cos

ϕ

sin

ϕ

1

=

=

2

2

2

= −1.

dy

yϕ′

2sin

ϕ

cos

ϕ

1

2

2

2

Вторая производная равна

d 2 x

=

(x′y )ϕ′

=

0

= 0.

dy2

yϕ′

2sin

ϕ

cos

ϕ

1

2

2

2