Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

70. Для дифференцируемой функции		y = f(x) из
приближенного равенства	y ≈ dy следует
f(x+ x) ≈ f(x)+ f	′	(7)
	(x) x .

Эту формулу используют при приближенных вычислениях. 80. Абсолютная величина разности между истинным

значением какой-либо величины a0 и ее приближенным значением а называется абсолютной погрешностью и

обозначается

a0 − a

Абсолютная

величина

отношения

абсолютной

погрешности

истинному

значению

называется

относительной погрешностью и обозначается δ =

Относительная погрешность обычно выражается в

процентах

δ =

100 %.

Если приращение функции заменить ее дифференциалом,

то получим приближенное значение приращения

y ≈ dy . В

этом случае абсолютная погрешность равна

y − dy

, а

относительная погрешность будет δ =

y − dy

4.1. Найти дифференциалы функций:

ln tgx

; в) y =

x3 −1

а) y = x

− x +

x ; б) y = 3

;

x3 +1

г)

x = a sin3 t .

Решение. а) Находим производную данной функции

′

= 3x

−1 + 2

x .

Отсюда дифференциал равен

′

−1 +

dy = y dx = 3x

dx.

156

б) Находим производную

y	′	lntgx	1 1				2 3lntgx ln 3
		= 3	ln 3			=		.
				tgx	cos2 x		sin 2x

Отсюда дифференциал

dy = 2 3ln tgx ln 3 dx. sin 2x

в) Находим производную

y	′		3x2 (x3	+1) − (x3		−1) 3x2			6x2
	′	=			(x3 +1)2			= (x3 +1)2 .
		=			(x3 +1)2			= (x3 +1)2 .
Отсюда дифференциал будет
			dy =		6x2		dx .
			dy =		(x3 +1)2		dx .
					(x3 +1)2

г) Производная по t равна x′ = 3asin2 t cost . Отсюда дифференциал dx = 3a sin2 t cos t dt.

4.2. Найти дифференциалы указанных порядков от функции:

а)

y = 3ln tgx , d 2 y ? ;

б)

ρ =

sin 2ϕ

, d 2

ρ?

1 −ϕ2

в) y = (x2 − x +1)3 , d 3 y ?

г) x 13 + y 13 = a 13 , d 2 y ?

Решение. а) Находим дифференциал 1-го порядка

lntgx

3lntgx

dy = 3

ln 3

dx = 2 ln 3

dx.

tgx

cos2 x

sin 2x

Дифференцируя еще раз, получим

3lntgx sin 2x

lntgx

cos 2x

2 ln 3

−2 3

y = 2 ln 3

sin 2x

sin2

= 4 ln 3 3lntgx ln 3 −cos 2x dx2 . sin2 2x

б) Дифференцируя последовательно дважды, имеем

157

dρ = 2 cos 2ϕ(1 −ϕ2 ) +ϕsin 2ϕ dϕ. (1 −ϕ2 )2

d 2 ρ = 2((−sin 2ϕ 2(1 −ϕ2 ) − cos 2ϕ 2ϕ + sin 2ϕ +

+ 2ϕcos 2ϕ)(1 −ϕ2 )2 + 2(cos 2ϕ(1 −ϕ2 ) +ϕsin 2ϕ)(1 −ϕ2 )4 = = 2(sin 2ϕ(5ϕ2 −1 − 2ϕ4 ) + 2ϕcos 2ϕ(1 −ϕ2 ))dϕ2.

в) Дифференцируя последовательно три раза, имеем dy = 3(x2 − x +1)2 (2x −1)dx,

d 2 y = 3(2(x2 − x +1)(2x −1)2 + (x2 − x +1)2 2)dx2 = = 6(x2 − x +1)(5x2 −5x + 2)dx2 ,

d 3 y = 6((2x −1)(5x2 −5x + 2) + (x2 − x +1)(10x −5))dx3 =

= 6(2x −1)(10x2 −10x + 7)dx3.

г) Функция задана неявно. Находим первую производную

y′ = −

, тогда dy = −

dx.

Вычисляем вторую производную

2 y

−

′

y′′ = −

отсюда

d 2 y =

2 3

ay dx2.

4.3. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и ее дифференциал:

а)	y = x2 −3x, x = t2 +1; б) z = ln y, y = tgx, x = 2t2 + t;
в)	y = ex ,	x = tgt , представить d 2 y	через: 1) x и dx; 2) t и dt.
	Решение. a) Дифференциал сложной функции равен
			2x −3
dy = y′x xt′dt.		Находим производные	y′x′ = 2 x2 −3x ;

xt′ = 2t.

158

Подставляя значение x в y′x , окончательно получим

	dy =	(2t2	−1)tdt			.
	dy =	(t2 +1)(t2 − 2)				.
		(t2 +1)(t2 − 2)
б) Дифференциал сложной функции в этом случае имеет
вид dz = z′y	y′x xt′dt.
			1			1
Находя	производные		z′y =		,	y′x =		,	xt′ = 4t +1 и
Находя	производные		z′y =	y	,	y′x =	cos2 x	,	xt′ = 4t +1 и

подставляя их значения в выражение дифференциала,


окончательно получим dz =		1	1	(4t +1)dt =	2(4t +1)dt		.
			cos2 x		sin(2(2t2 +t))
		y
в) Находим	дифференциал			первого		порядка
dy = y′x dx = ex dx.	Дифференциал второго порядка через x и dx

равен d 2 y = y′′xx dx2 = exdx2 .

Выразим теперь дифференциал через t и dt. Дифференциал

первого порядка будет dy =

y′x xt′dt = ex

dt = etgt

cos2

cos2 t

Дифференцируя по t, получим

tgt

cos

t +e

tgt

2sin t cos t

tgt 1

+sin 2t

cos2 t

y =

= e

cos4 t

Если воспользоваться формулой (5),

где

fx′ = ex ,

fxx′′

= ex ,

dx =

, то придем к такому же результату

cos2 t

x dt2

tgt 1

+ sin 2t

y = e

+ e

= e

cos4 t

cos2 t

4.4. Вычислить приближенно: a)

arctg 1,05;

lg 9;

в) 5 0,98 .

Решение. a) Полагаем f ( x ) = arctgx, тогда f

′

(x) = 1 + x2 .

159

Отсюда no формуле (7) имеем

arctg(x +

x) = arctgx +

1 + x2

Пусть x = 1, тогда х = 0,05. Таким образом

arctg(1 + 0,05) = arctg1 +

0,05 = π

+ 0,025.

1 +1

б) Положим f ( x ) = lgx, тогда

′

(x) = x ln10 . Отсюда по

формуле (7) имеем

lg(x +

x) = lg x

x ln10

−1

Пусть x =10, тогда

x = -1 и lg(10 −1) = lg+

10ln10

0,1

Отсюда lg9 =1 −

= 0,956.

ln10

′

−

в) Полагаем f (x) =

x ,

тогда

(x)

5 5

x4 .

Отсюда 5 x +

x = 5

x .

55 x4

− 0,02 или

Пусть x = 1, тогда

х = 0,02 и

5 1 − 0,02 = 5 1 +

5 14

5 0,98 =1 − 0,0004 = 0,996 .

4.5. Для функции

y = x2 + 3x +1

найти

приращение

ординаты касательной и приращение функции при переходе аргумента x от значения х=2 к х=2,1.

Решение. Согласно геометрическому смыслу дифференциала, приращению ординаты касательной соответствует дифференциал функции dy = (2x + 3)dx .

При х = 2 и dx = x = 2,l – 2 = 0,l получим dy = (2 2+3) 0,1 = 0,7.

Приращение функции находим по формуле

160

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27