Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вычисляем частное значение производной в точке M

	9		− 25 9 1		5
y′		=		= −		. Отсюда уравнение касательной
	5		9 5 4		4

y − 4 = −	5	(x −	9	)	или 5x + 4 y −25 = 0 .
y − 4 = −	4	(x −	5	)	или 5x + 4 y −25 = 0 .		4		9
	4		5

Уравнение					нормали имеет вид	y −4 = −		x −		или
Уравнение					нормали имеет вид	y −4 = −	5	x −	5	или
							5		5

20x −25y +64 = 0 .

5.3. На кривой y = 3x2 − 4x +1 найти точку, в которой касательная параллельна прямой y = 2x .

Решение. Пусть искомая точка касания есть M (x0 , y0 ) .

Находим угловой коэффициент касательной в точке касания k = y′(x0 ) = 6x0 − 4 .

Поскольку касательная и прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны 6x0 −4 = 2 , откуда x0 =1.

Подставляя найденное значение абсциссы искомой точки в уравнение кривой, находим её ординату y0=3·12-4·1+1=0.

Итак, точка М имеет координаты (1,0).

5.4. Найти точку линии у = х2-2х-5, в которой касательная перпендикулярна прямой Зх + 6y -1 = 0, составить уравнение этой касательной. Сделать чертёж.

Решение. Пусть искомая точка есть M(x0 , y0). Находим

угловой коэффициент касательной y′(x0 ) = 2x0			− 2 . Угловой
коэффициент прямой k1 = −	1	.

2				1
Из условия перпендикулярности прямых			k1 = −		, где

				k2

k2 - угловой коэффициент касательной, находим абсциссу ис-

комой точки	−	1	= −	1	, x0 = 2. Ординату точки М нахо-
		2		2x0 − 2

166

дим из уравнения линии у0= x02 − 2x0 + 5 = 5. Уравнение каса-

тельной будет y - 5 = 2(x-2) или 2х - у + 1 = 0.

Чтобы построить график параболы, преобразуем её уравнение y = x2 - 2x+5=(x-1)2+4, т. е. вершина параболы сдвинута на единицу вправо и на четыре единицы поднята вверх (рис.2.10). Уравнения касательной и прямой, перпендикулярной касательной, показаны на рисунке.

Рис. 2.10

5.5. Найти длину подкасательной, поднормали и нормали кривой y2=x3 в точке x0=1.

Решение. Данная кривая представляет полукубическую параболу.

Поскольку касательная и нормаль проходят через точку x0=1, y0=1,то рассмотрим только одну ветвь кривой (рис. 2.11)

.AN-подкасательная; BN-поднормаль. y

x Рис. 2.11

167

Найдём угловой коэффициент касательной в точке М:

2 yy

′

= 3x

, y

′

3 x2

′

2 y

; y (1) = k1

М(1,1) будет

Угловой

коэффициент

нормали в точке

k2 = −

= −

. Уравнение касательной y-1 =

(x-1); нормали

у -1= −

(x-1).

Найдём координаты точек A и B. Поскольку точки лежат на оси Ох, то y = 0 и из уравнений касательной и нормали име-

	1				5														1		2
	1				5														1		2
ем A		,0 , B					,0	. Длина					подкасательной				AN	=1 −		=		;
ем A	3	,0 , B			2		,0	. Длина					подкасательной				AN	=1 −	3	=	3	;


поднормали				BN		=		5	−1 =		3	.
								5			3

								2		2			AM = (1 − 1)2			+ (1 − 0)2 =				13		;
								2		2
Длина				касательной
															3					3
длина нормали						BM =				( 5 −1)2				+ (1 − 0)2 =	13 .
										2					2
5.6. Под каким углом													пересекаются		кривые у =sin x и
y = cos x,			x [0;π].
Решение. Совместно решив уравнения кривых (рис.
2.12),			находим						абсциссу					точки	их		пересечения:
sin x − cos x = 0, tgx =1,										x0 =			π	. Продифференцируем уравне-
													4

ния кривых y′ = cos x и y = −sin x . Найдем угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения т. е.

168

значения	производных						при	x0 = π :	f1′= (x0 ) =	2	,
								4		2
f2′(x0 ) = −	2 . Отсюда по формуле (4) пункта 3.4 имеем:
	2
	−	2		−	2
tgϕ =	−	2		−	2	= −2	2 ,	ϕ = −arctg2	2
tgϕ =		2			2	= −2	2 ,	ϕ = −arctg2	2
	1 −		2		2
	1 −	2			2
		2			2

		Рис. 2.12
	5.7. Под каким углом кривая					y = ln( 3x −1) пересекает
ось x?
	Решение. Находим точку пересечения кривой с осью Ох.
	Полагая у=0, получим:				ln(	3x −1) = 0 ,	3x −1 =1,
x =	2	= 2 3 .
	3	3
	Находим производную y		′	=	3
			′		3x	−1 и угловой коэффици-
					3x	−1 и угловой коэффици-
ент касательной к кривой в точке x0 =						2 3 .
						3

169

Поскольку угловой коэффициент оси Ох равен нулю, то по формуле (4) пункта 3.4: tgϕ = 3 . Следовательно, искомый

угол ϕ = π3

5.8. Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, подкасательной и поднормали, а также угол между касательной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда ρ = aϕ в точке с полярным углом ϕ = 2π .

Решение.

Представим

график

спирали Архимеда

(рис.2.13).

Находим производную ρ′ = a , тогда длина полярной ка-

сательной равна

2πa

′

+ (ρ )

4π

+ a

2πa 1 + 4π

;

ρ′

длина полярной нормали

= ρ2 + (ρ′)2 = (2πa)2 + a2 = a 1 + 4π 2 ;

длина подкасательной OK =

ρ2

4π

= 4aπ

;

ρ′

длина поднормали

ON =

ρ′

= a .

Рис.2.13

170

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27