Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н
Переходим к рассмотрению механического смысла про-
изводной. |
M0 |
|
M |
|
|
Пусть материальная точ- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ка движется прямолинейно не- |
|
|
|
|
S |
S0 |
S |
S |
|||
равномерно по закону S = f (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где t – время, S – путь, прохо- |
|
Рис. 2.2 |
|
||
димый точкой за время t. |
|
|
|
|
|
Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0 (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t0. Рассмотрим другой момент времени t0 + t. За время t0 пройденный точкой путь равен:
S0 = f (t0),
за (t0 + t) пройдено расстояние
S = f(t0 + t),
и точка оказалась в положении M, тогда за время t пройден
путь M0M и он равен: |
|
|
|
S – S0 = f (t0 + t) – f (t0) = S. |
S |
|
|
Средняя скорость Vср за пpомежуток времени t равна: |
. Но |
||
t |
|||
|
|
средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени t. Скоростью в момент времени t0 (обозначим V(t0)) называется предел средней скорости Vср при
t → 0. Итак, |
|
|
|
S |
|
|
|
V (t |
0 |
) = |
lim |
= S′(t |
0 |
). |
|
|
|
t→0 |
t |
|
|
Вывод. Производная от пути S = f (t) в момент времени t0 есть скорость в момент времени t0.
41
2.2. Производные некоторых элементарных функций
Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x0 X и f(x) дифференцируема в точке x0, т.е. произ-
водная |
f ′( x |
0 |
) = lim |
y |
существует. |
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
Для одной и той же функции f (x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная f ′(x) будет функцией от x, ее называют
производной функцией от функции f (x). Нахождение производной функции называют дифференцированием функции f (x).
Итак, производная функция от функции f (x) по определению:
f ′( x) = lim |
f (x + |
x) − f ( x) |
. |
|
|
||
x→0 |
x |
||
Для того чтобы научиться дифференцировать функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила дифференцирования. Выведем производные некоторых элементарных функций.
1. f (x) = с – постоянное число.
f ′( x) = lim |
f ( x + |
x) − f (x) |
= |
lim |
c − c |
= |
lim 0 = 0 . |
|
x |
x |
|||||
x→0 |
|
x→0 |
|
x→0 |
|||
Итак, (c)' = 0.
2. f (x) = x:
f ′( x) = |
lim |
( x + |
x) − x |
= |
lim |
x |
= |
lim 1 =1 . |
|
x |
x |
||||||
|
x→0 |
|
x→0 |
|
x→0 |
|||
Получили: (x)' = 1. |
|
|
|
|
|
|
||
3. f (x) = |
x : |
|
|
|
|
|
|
|
42
′ |
x +Δx − x |
|
|
|
|
|
x +Δx−x |
|
||
( x) =lim |
|
|
=lim |
|
|
|
|
= |
||
|
x |
|
|
|
|
|||||
x→0 |
|
x→0 x( x +Δx + x) |
|
|||||||
=lim |
1 |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
|||||
x→0 x +Δx + x 2 x |
|
|
||||||||
Таким образом, |
( x )′ = |
1 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 x |
|
|
|
||||
4.f (x) = 1x :
|
1 |
′ |
|
|
|
f ( x + x) − f (x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ x |
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
= lim |
x − ( x + x) |
|
= |
lim |
|
|
−1 |
= − |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 x( x + x) x |
|
x→0 x(x + x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Итак, |
1 |
|
′ |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = sinx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
sin( x + |
x) −sin x |
|
|
2sin |
x |
cos(x + |
x |
) |
|
||
(sin x)′ = |
lim |
|
= |
lim |
2 |
2 |
= |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
sin |
|
|
|
x ) =1 cos x = cos x. |
|
|
|
|||||
= |
lim |
2 |
lim cos(x + |
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 Значит, (sinx)' = cosx
6. Аналогично доказывается, что (cosx)' = –sinx.
Для дальнейшего изложения вычислим два вспомога-
тельных предела, а именно: |
|
|
|
|
|
||
lim |
log a (1 + y) |
и |
lim |
a y −1 |
, |
||
y |
y |
|
|||||
y→0 |
|
y→0 |
|
||||
43
используя для этого второй замечательный предел и непрерывность функций logax и ax.
Первый предел:
|
|
|
loga (1+ y) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
lim |
|
= lim |
loga (1+ y) = lim loga (1+ y) |
y |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y→0 |
y |
y→0 |
y |
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= log |
(lim(1+ y) |
y |
) = log |
|
e = |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a y→0 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
ln a |
|
||||||
|
Таким образом, |
lim |
log a (1 + y) |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
y |
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для вычисления второго предела введем новую перемен- |
|||||||||||||||||||||||||
ную: z = ay – 1, тогда ay = z + 1, откуда y = loga(z + 1). |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Если y → 0, то z → 0, |
следовательно, |
|
a y −1 |
|
|||||||||||||||||||||
lim |
a y −1 |
= lim |
|
|
z |
|
|
|
= ln a , |
т.е. lim |
= ln a . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||
y |
→0 |
y |
z→0 log a (z + |
1) |
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
||||||||||||||
7.f (x) = loga x :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
loga (x + x) −loga x |
|
loga |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
(loga x)′ = lim |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 lim |
loga |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
попервомуиздоказанныхпределов |
|
= |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x ln a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
Значит, |
(log |
a |
x)′ = |
|
|
|
|
. В частности, (ln x)′ = |
|
. |
||||||||||||||||||
|
x ln a |
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. Убедимся, что (ax)' = axlna:
44
(a x )′ = |
|
lim |
a x+ |
x − a x |
= |
lim |
a x (a x −1) |
= a x |
lim |
a |
x −1 |
= |
||
|
|
x |
x |
|
x |
|||||||||
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|||
= |
|
по второму издоказанныхпределов |
|
|
= a x ln a. |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
При a = e, |
получаем: (ex)' = ex. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.3. Основные правила дифференцирования
Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.
Теорема 1. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем
(u(x) + v(x))' = u'(x)+v'(x).
Доказательство.
(u ( x ) + v ( x))′ = lim u ( x + |
x ) + v ( x + x ) − (u ( x ) + v ( x)) |
= |
|||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
= lim |
u ( x + |
x) − u ( x ) |
+ |
lim |
|
v( x + |
x ) − v ( x ) |
= u ′( x ) + v ′( x ). |
|
|
x |
|
|
x |
|||||
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|||||
Теорема 2. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|||
Так как u = u(x + |
x) – u(x), |
то |
u(x + x) = u(x) + u. |
|||||
Аналогично, v(x + |
x) = v(x) + |
v. |
|
|
||||
′ |
= lim |
u(x +Δx)v(x + x) −u(x)v(x) |
= |
|
||||
(u(x)v(x)) |
|
|
x |
|
|
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
(u(x) + |
u)(v(x) + |
v) −u(x)v(x) |
= |
|||
|
|
x |
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|||
45