Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Теорема 1. Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то их сумма и произведение также непрерывны в точке

рывно в точке x0.

Доказательство. Доказательство основано на свойствах пределов. Докажем, например, что сумма непрерывных функ-

что означает непрерывность f1(x) + f2(x) в точке x0. Аналогично для других утверждений теоремы. Заметим, что формулу

lim f (x) = f (x0) (определяющую непрерывность функции f(x)

x→x0

в точке x0) можно записать в виде: lim f(x) = f( lim x), так как

x→x0 x→x0

lim x = x0. Эта формула означает, что при нахождении преде-

x→x0

ла непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Теорема 2. Если функция u = ϕ(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f (u) непрерывна в точке u0 = ϕ(x0), то сложная функция y = f (ϕ(x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство. Покажем, что lim f (ϕ (x)) = f (ϕ (x0)).

x→x0

Действительно, из непрерывности функции ϕ (x) имеем:

36

Теорема доказана.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каж-

дой точке x0 R, так как lim C = C.

x→x0

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x0, так как

lim x = x0. Тогда функция y = Cxn, где n N, непрерывна на

x→x0

всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3.Любой многочлен: y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4.Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением

двух многочленов QP((xx)) , непрерывна во всех точках, в кото-

рых многочлен Q(x) не обращается в 0.

5. Функция y = sinx, y = cosx непрерывны в точке x0 = 0, так как

Сформулируем без доказательств следующую теорему. Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в

каждой точке, в которой она определена.

Если функция f (x) непрерывна в каждой точке интервала

(a, b), то говорят, что f (x) непрерывна на интервале (a, b).

37

2.ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

2.1.Понятие производной, ее геометрический

и механический смысл

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f (x) – f (x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Итак, x = x – x0, y = f (x) – f (x0). Из равенства x = x – x0

получаем равенство x = x0 + x, тогда y = f (x0 + x) – f (x0). Производной функции f (x) в точке x0 называется предел

отношения приращения функции к приращению аргумента,

Пример 1. Найти производную для функции f (x) = x2 в точке

x0 = 3.

Решение.

Если f ′(x0) существует, то говорят, что функция f (x) диф-

ференцируема в точке x0. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x0 и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

38

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Дано, что f '(x0) существует, т.е.

Итак, доказано, что f (x) непрерывна в точке x0. Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то

в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f (x) = | x | непрерывна в точке x0 = 0,

так как lim x = 0 = 0 .

x→0

Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x0:

дифференцируема в точке x0 = 0.

39

f(x) в точке x0: f ′(x0) = k = tgα.

Вэтом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M0K имеет вид:

y – f (x0) = f ′(x0)(x – x0).

40