Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Пример 1. α(x) = (1 – x)3, β (x) = 1 – x3.

Очевидно, что при x → 1 функции α(x), β(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x → 1:

lim α(x) x→1 β(x)

Пример 2. Функции α1(x) = 4x, α2 (x) = x2, α3(x) = sinx,

α4(x) = tgx являются бесконечно малыми при x → 0. Сравним их:

Отсюда заключаем, что α2(x) = x2 – б.м. высшего порядка, по

сравнению с α1(x) и α3(x) (при x → 0), α1(x) и α3(x) – б.м. одного порядка, α3(x) и α4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x → 0.

31

Теорема 1. Пусть α(x) ~ α1(x), β(x) ~ β1(x) при x → a. Ес-

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти lim sin 4x .

x→0

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x → 0, поэтому

Теорема 2. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) эквивалентны (при x → a) тогда и только тогда, когда α(x) – β(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) и β(x) (при x → a).

т.е. разность α(x) – β(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) при при x → a (аналогично с β(x)).

Пусть α(x) – β(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) и β(x), покажем, что α(x) ~ β(x) при x → a:

32

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

33

1.10. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f (x) определена в точке x0 и некоторой ее

то функция f (x) называется непрерывной в точке x0, а x0 на-

зывается точкой непрерывности функции f (x).

На языке логики равенство lim f (x) = f (x0 ) описыва-

x→x0

ется формулой:

ε > 0 δ >0 x (x0 – δ, x0 + δ) |f (x) – f (x0)| < ε .

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой

Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x0 справа или слева. Пусть функция определена в точке x0 и некоторой ее левой полуокрестности.

Если lim f (x) = f (x0), то говорят, что f (x) непрерывна

x→x0 −0

в точке x0 слева.

Аналогично определяется непрерывность справа.

34

Так как lim f (x) = lim f (x) = f (0), то непрерывность функ-

x→0−0 x→0+0

ции f (x) в точке x0 = 0 доказана. Дадим определение точек разрыва.

Пусть f (x) определена в окрестности точки x0, но может быть не определена в x0.

Точка x0 называется точкой разрыва для функции f (x), если в

x0 = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому

Точка разрыва x0 для функции f (x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют (конечные) пределы:

рыва второго рода. В примере 4 x0 = 3 – точка разрыва второго

называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x0 в примере 3. Если рассмотреть функцию

35