Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

б) = 0 , но найдется, по крайней мере, один элемент, минор которого не равен нулю. Если в главном определителе заменить столбец, где находится этот элемент, столбцом из свободных членов и дополнительный определитель не будет равен нулю, то система несовместна. Если же дополнительный определитель будет равен нулю, то уравнение в котором данный элемент является коэффициентом при неизвестной, будет следствием двух других уравнений и система имеет бесчисленное множество решений.

в) = 0 , и все его миноры равны нулю. Если хотя бы один минор дополнительных определителей отличен от нуля, то система несовместна. Если же все миноры дополнительных определителей равны нулю, то система сводится к одному уравнению, совместна и имеет бесчисленное множество решений.

2.1. Пользуясь определителями 2-го порядка решить

системы:

3x +

2y =

12,

x + y = 3,

а)

в)

4x − y = 5;

2x +2y = 6.

б)

3x −2 y =

6x −4 y = 9;

Решение. а) Главный определитель системы

= −11.

−1

Дополнительные определители

x =

= −22,

y =

= −33.

−1

Отсюда по формулам Крамера

x = x =

− 22

= 2, y =

−33

= 3.

−11

б) =			3		− 2			= −12 +12 = 0;
б) =			3		− 2			= −12 +12 = 0;
			6		− 4
x	=			4		−		2	= 2 ≠ 0,		y	=	3	4	= 3 ≠ 0.
x	=			4		−		2	= 2 ≠ 0,		y	=	3	4	= 3 ≠ 0.
				9		−	4						6	9
Система несовместна.
в) =		1		1		= 0; x =				3 1		= 0,			y =	1	3	= 0.
		2			2					6	2					2	6

Второе уравнение системы есть следствие первого; система имеет бесчисленное множество решений.

2.2. Найти решения системы

2x - y +5z = 0,3x - 4y - 7z = 0.

Решение. Ненулевые решения находим по формулам

(4)

x = k

−1

= 27k , y = −k

= 29k , z = k

−1

= −5k,

− 4

−7

− 4

где k — произвольное число.

Задаваясь различными значениями k, получим бесчисленное множество решений.

2.3. Решить системы:

3x + 2 y + 4z	= 0,			x + 2 y − 4z = 0,
а) 5x + y −8z = 0,				б) 2x +3y + z		= 0,
4x + 2 y +3z	= 0;			3x +5y −3z = 0.

Решение. a) Главный определитель
		3	2	4	= −13 ≠ 0.
		3	2	4
=		5	1	−8
		4	2	3

Система имеет только нулевое решение х = у = z =0.

Минор первого элемента первой строки не равен нулю, следовательно, система сводится к двум уравнениям (третье уравнение есть сумма первых двух). Решая первые два уравнения по формулам (4), получим

x = k	2 − 4					=14k , y = −k												1 − 4			= −9k , z = k								1 2			= −k.
x = k	2 − 4					=14k , y = −k												1 − 4			= −9k , z = k								1 2			= −k.
	3	1																2	1										2	3
	2.4. Решить системы:
			2x				−3y + z						=		14,				2x + y						+ z	=		2,
	а) 5x						+ y			−	3z		=		7,			б) x			+ y + 2z					=		2,
																												= 4;
			4x +3y + 2z =10;																3x + 2 y +3z									= 4;
			x		+			2 y		+	7	=		1,					2x			+ y		+ z =			3,
	в) x				+			2 y		+	7	=		1,				г) 2x				+ y		+ z =			2,
			x		+			2 y		+	7	=		1;					2x			+ y		+ z =			3.

	Решение. а) Находим главный определитель
				2				−3				1			= 4			+15 +36 − 4 +30 +18 = 99
				2				−3				1
		=		5 1							−3
				4					3			2
и дополнительные
					14				−3					1									2		14			1
					14				−3					1									2		14			1
	x =				7					1			−		3		=	297,		y		=	5		7			−3		= −198,
					10					3				2									4		10			2
		z =				2			−3				14			=198.
		z =				5				1			7			=198.
						4				3			10
	По формулам Крамера
x =	x =		297					= 3,			y =						y	=	−198			= −2, z =						z =			198		= 2.
x =	x =	99						= 3,			y =							=	99			= −2, z =						z =					= 2.
		99						2		1		1							99		2		1		2					99
	б)	=						2		1		1			= 0,				z =		2		1		2		= 0.
	б)	=						1 1 2							= 0,				z =		1 1 2						= 0.
								3		2		3									3		2		4

Третье уравнение есть сумма первых двух и система сводится к решению первых двух уравнений

2x + y + z = 2,

x + y + 2z = 2;

=	2	1	=1;	x =
	1	1
x =		x = z; y =			y
x =		x = z; y =

2x + y = 2 − z,

x + y = 2 −2z.

2 − z	1	= z;	y =	2	2 − z	= 2 −3z;

2 − 2z	1			1	2 − 2z

= 2 −3z,

где z — произвольно, т. е. система имеет множество решений.

В) =	1	2	1	= 0
В) =	1	2	1	= 0
	1	2	1

и все миноры равны нулю.

Поскольку все миноры дополнительных определителей равны нулю, то система сводится к одному уравнению

x = 1 - 2y - z, где у, z — произвольны.

г) =	2	1	1	= 0
г) =	2	1	1	= 0
	2	1	1

и все миноры равны нулю.

Поскольку миноры дополнительных определителей отличны от нулей, то система несовместна.

2.5. Определить значение коэффициента α, при котором система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение

αx + 4 y −5z = 0,9x +8y −7z = 0,

3x + 4 y −3z = 0.

Решение. Поскольку система однородная, то она ненулевое решение имеет только в том случае, когда определитель системы равен нулю

второго порядка имеются отличные от нуля, к примеру,

M11 =	8	−7	= 4 ≠ 0,
M11 =	8	−7	= 4 ≠ 0,
	4	−3

то одно из уравнений является следствием двух других, и система равносильна системе двух уравнений с тремя неизвестными

9x +8y −7z = 0,3x + 4 y −3z = 0.

Решение находим по формулам (4)
x = k	8	−7	= 4k , y = −k	9	−7	= 6k	, z = k	9	8	=12k
x = k	8	−7	= 4k , y = −k	9	−7	= 6k	, z = k	9	8	=12k
	4	−3		3	−3			3	4

или x=2k, y=3k, z=6k, где k— произвольное число.

Задаваясь различными значениями k, получаем бесчисленное множество решений.

2.6. Решить систему:

2x + y = 4,4 y +3z =17,5z + 2u =19,u + 7v = 9,

6u +5x =11.

		Решение. Найдем главный определитель системы
	2	1	0	0	0		4		3	0	0		1	0	0	0


	0	4	3	0	0
						= 2	0	5 2			0	+5 (−1)5+1	4	3	0	0	=
	0	0	5	2	0
	0	0	0	1	7		0		0	1	7		0	5	2	0
							0		0	0	6		0	0	1	7
	5	0	0	0	6

	= 2 4 5 1 6 +5 1 3 2 7 = 450.													х
		Для		нахождения						неизвестной						найдем
вспомогательный определитель											x :

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

= −9 − 40 + 6 +36 −5 +12 = 0.






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1