Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	4	1	0	0	0			4		3	0	0			17	3	0	0

	17	4	3	0	0
x =						= 4		0 5 2 0						+ (−1)2+1	19	5	2	0	=
	19 0 5 2 0
	9	0	0	1	7			0		0	1	7			9	0	1	7
								0		0	0	6			11	0	0	6
	11	0	0	0	6
									19		2	0
= 4 4 5 1 6 −				17 5 1 6 +			3						= 450.
										9	1	7
									11		0	6
	Отсюда			по	формуле					Крамера				x = x =1.		Остальные

неизвестные находятся подстановкой х = 1 в систему уравнений y=2, z=3, u=2, v=1.

Последнее уравнение может служить проверкой найденного решения.

1.3. Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц

1°. Матрицей называют таблицу, состоящую из элементов аij , расположенных в т строках и п столбцах, и обозначают

a11		a12	… a1n
A = a21		a22	… a2n .

		am2	…
am1				amn
Если т = п, то	матрицу		называют квадратной; если
т = 1, то получим матрицу – строку
(a11	a12	a13	… a1n ),

если n = 1, то получим матрицу — столбец

a11a12 .

am1

Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию aij = аji, то матрица называется симметрической.

Единичной матрицей порядка п называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю

			1		0		0
E	n	=		0	1	…	0	,	a	= 1, если i =		j,
	n								ij		если i ≠ j.
				0	0	…	1			0,	если i ≠ j.
				0	0	…	1

Нетрудно заметить, что определитель единичной матрицы любого порядка равен единице det Е n=1.

Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность и все соответствующие элементы матриц равны между собой, т. е. aij = bij.

2°. Суммой двух матриц одинаковой размерности A и B называется матрица С такой же размерности, получаемая из этих матриц сложением соответствующих элементов

сij = aij + bij

С = А+В.

Например, сумма матриц третьего порядка имеет вид

a		a	a		b
11		12	13		11
a21		a22	a23		+ b21
a		a	a		b
31		32	33		31
a		+b	a		+b
	11	11		12	12
= a21 +b21			a22 +b22
a		+b	a		+b
	31	31		32	32

b	b
12	13
b22	b23	=
b	b
32	33
a	+b
13	13
a23 +b23
a	+b
33	33

Свойства суммы матриц: 1. Сочетательный закон

(А+В) + С = А + (B+C).

2. Переместительный закон

А+В = -В+А.

3°. Разность матриц есть действие обратное сложению, т. е. чтобы найти разность двух матриц одинаковой

размерности, следует произвести вычитание соответствующих элементов cij = aij - bij.

4°. Умножение матрицы на число. Под произведением матрицы А на число k понимается матрица B получаемая из матрицы А умножением всех ее элементов на это число bij=kaij

В =kА.

Свойства: 1. Распределительность относительно суммы

чисел

(k1 +k2)A = k1A + k2A.

2. Распределительность относительно суммы матриц k(А+В)=kА + kВ.

5°. Умножение матрицы на матрицу. Под произведением матрицы А размерности (m × n) на матрицу В размерности (n × k) понимается матрица С размерности (m × k) получаемая перемножением элементов матрицы А на элементы матрицы В по правилу

cij = ai1b1 j + ai2b2 j +... + ainbnj = ∑airbrj , r

т. е. по правилу «строки на столбец».

Таким образом, произведение матриц А В имеет смысл только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В итоге получается матрица С, у которой число строк совпадает с числом строк матрицы A , а число столбцов с числом столбцов матрицы В:

A B = C [(m × n)(n ×k) = (m ×k)].

Например, произведение двух матриц третьего порядка имеет вид

a		a
11		12
a21		a22
		a32
a31		a32
	3
	∑a1i bi1
	i=1
	3
=	∑a2i bi1
i=1
	3
	∑a3i bi1
i=1

a13 b11 a23 b21 a33 b31

∑a1i bi2

i=1 3

∑a2i bi2

i=1 3

∑a3i bi2

i=1

Свойства:

b	b
12	13
b22	b23	=
b	b
32	33
3
∑a1i bi3
i=1
3
∑a2i bi3
i=1
3
∑a3i bi
∑a3i bi		3
i=1

1.А(В+С)=АВ+АС;

2.(В+С)А =ВА+СА;

3.(А+В) (C+D) = AC+AD+BC+BD;

4.(АВ)С=А(ВС).

Здесь предполагается, что матрицы А, В, С, D допускают перемножение.

6°. Если размерность матрицы А равна (т ×п), то

Е m А = А и АЕ n = А,

т. е. умножение матрицы А на единичную матрицу есть та же самая матрица А, если порядок единичной матрицы позволяет перемножение.

3.1. Найти сумму матриц

	2	3	1			3
	3	5		4		− 2
A =	3	5	, B =	4		− 2	.
	1	2		2		7
	1	2		2		7
Решение.
				3		6
	C = A + B =				7 3 .
					3
					3	9
			24

	3.2. Найти разность матриц												4		0		1
					2	1	4				B		4		0		1
			A =						,		B	=						.
	Решение.			− 2 3 7									3 5				− 2
	Решение.									− 2			1		3
				С = А – В =						− 2			1		3
				С = А – В =									− 2			.
										−5			− 2		9
	3.3. Найти произведение матрицы
					3		4			7		1
				А =		2	3			5		2 на число k = 3.
						4	1		− 2			3
						4	1		− 2			3
	Решение.
						9			12			21		3
			B = kA =				6 9 15 6 .
										3		−6		9
						12				3		−6		9
	3.4. Доказать равенство
			1		−1 2					1		−1 2					1		−1 2
			5				= 2								+		3		.
			4 3 5							4 3 5							4 3 5
	Решение. Выполним указанные действия
			1		−1 2				5				−5 10
			5						=							;
			4 3 5							20 15 25
1 −		1 2		1 −1 2						2			− 2 4				3 −3 6
																					=
2			+3		4 3 5			=									+				=
4 3 5					4 3 5					8 6 10							12 9 15
5		−5	10
=				.
	20	15	25
	20	15	25
	3.5. Перемножить следующие матрицы:
		1 3			4 1					1 2				− 4			4 3 1
		1 3			4 1			б)			3	−1 5						−	1 2 3
	а)					;		б)			3	−1 5						−	1 2 3	;
		2 − 2			5 2						2 3				2			−	2 4 5
											2 3				2			−	2 4 5
										25

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1