Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
4. Уравнение плоскости, проходящей через данную |
|
точку M1 (x1, y1, z1 ) и перпендикулярной данному |
вектору |
NG (A, B,C ) |
|
A(x − x1 )+ B (y − y1 )+C (z − z1 )= 0 . |
(4) |
5. Параметрические уравнения плоскости |
|
x = x0 +uax +vbx ; |
|
y = y0 +uay +vby ; |
(5) |
|
z = z0 +uaz +vbz , |
|
|
|
|
где |
u, v - два параметра; ax ,bx , ay ,by , az ,bz |
- проекции векторов |
|||
G |
G |
|
G |
G |
G |
a иb удовлетворяющих векторному произведению |
a |
×b |
= N . |
||
2°. Основные задачи на плоскость.
1.Точка пересечения трех плоскостей находится из совместного решения их уравнений.
2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки
M1 (x1, y1, z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 )
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1
z2 − z1 = 0 . (6) z3 − z1
3. Параметрические уравнения плоскости, проходящей через три точки, имеют вид
x = x1 +u (x2 − x1 )+v (x3 − x1 ); |
|
y = y1 +u (y2 − y1 )+v (y3 − y1 ); |
(7) |
z= z1 +u (z2 − z1 )+v (z3 − z1 ).
4.Угол между двумя плоскостями равенG углу между нормальными к ним векторами N1 (A1, B1,C1 )иN 2 (A2 , B2 ,C2 )
166
cosϕ = |
|
NG1 NG2 |
= ± |
|
A1 A2 + B1B2 +C1C2 |
|
. (8) |
||||||||
|
NG1 |
|
|
|
NG2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A2 |
+ B2 |
+C2 |
A2 |
+ B2 |
+C2 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
5. Если две плоскости взаимно-перпендиклярны, то сумма произведений коэффициентов при одноименных
текущих координатах равна нулю |
|
A1 A2 + B1B2 +C1C2 = 0 . |
(9) |
6. Если две плоскости параллельны, то коэффициенты при одноименных текущих координатах пропорциональны
A1 = B1 = C1 . (10)
A2 B2 C2
7. Расстояние от точки M1 (x1, y1, z1 ) до плоскости
d = |
|
x cosα + y cos β + z cosγ − p |
|
= |
|
Ax1 + By1 +Cz1 + D |
|
. (11) |
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
± A2 |
+ B2 +C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.1. |
Дано |
уравнение плоскости |
9x −2 y +6z −11 = 0. |
||||||||
Привести: а) к нормальному виду; б) к уравнению плоскости в отрезках на осях.
|
|
|
Решение. |
а) |
|
|
|
Найдем нормирующий |
множитель |
||||||||||||||||||
M = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
. |
Умножая на М данное уравнение, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
92 +(−2)2 +62 |
11 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
получим |
|
9 |
|
|
x − |
2 |
|
y + |
|
6 |
|
z −1 = 0, |
|
|
|||||||||||||
11 |
|
|
11 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
11 |
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||
где cosα = |
|
, cos β = − |
, cosγ = |
и p =1. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|||||||||
б) Перенесем свободный член в правую часть уравнения и |
|||||||||||||||||||||||||||
разделим на него уравнение, представив его в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
+ |
|
y |
|
+ |
|
z |
=1. |
|
Отрезки на осях a = 11, b = − |
11, c = |
11. |
||||||||||||||
11 |
−11 |
|
11 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2 |
6 |
|||||||||||
9 |
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167 |
|
|
|
|
2.2. Написать общее и параметрические уравнения плоскости, проходящей через три точки
A(1,1, 0); B (3, 2, −1)иC (2, −1, 4).
Решение. Воспользуемся уравнением (6)
x −1 |
y −1 |
z |
|
|
|
||||
2 |
1 |
−1 |
|
= 0. |
1 |
−1 |
4 |
|
|
Общее уравнение искомой плоскости 2x - 9 y - 5z +7 = 0.
Для получения параметрических уравнений плоскости подставляем координаты точек в формулы (7)
x=1+2u +v,
y=1+u −2v, z = −u +4v.
2.3.Через точку (2,1,3) провести плоскость, которая
была бы перпендикулярна к плоскости x +3y - z +2 = 0 и
проходила бы через точку (3,-1,5).
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости (4), проходящей через данную точку и перпендикулярной
некоторому вектору N (A, B,C )
A(x −2)+ B (y −1)+C (z −3)= 0. (*)
Из условия перпендикулярности (9) этой и данной плоскости имеем A +3B −C = 0.
Поскольку наша плоскость должна проходить через точку (3,-1,5), то подставляя ее координаты в уравнение (*), получим A −2B +2C = 0.
Мы получили систему трех линейных однородных уравнений относительно неизвестных А, В, С. Чтобы система имела решение отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы определитель равнялся нулю
168
x −2 |
y −1 |
z −3 |
|
|
|
||||
1 |
3 |
−1 |
|
= 0. |
1 |
−2 |
2 |
|
|
Отсюда уравнение искомой плоскости 4x - 3y - 5z +10 = 0.
2.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку M0 (2,1, −2) |
перпендикулярную |
линии |
пересечения |
|||||||
плоскостей x +3y +2z +1 = 0 и 3x +2 y − z +8 = 0. |
|
|||||||||
Решение. Найдем вектор параллельный линии |
||||||||||
пересечения плоскостей |
|
iG Gj |
|
|
|
|
|
|||
G |
G |
G |
|
k |
|
G |
G |
G |
||
N |
= N1 |
×N2 |
= |
1 3 2 |
= −7i +7 j − |
7k. |
||||
|
|
|
|
3 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
Воспользуемся |
теперь |
уравнением |
плоскости, |
|||||||
проходящей через точку M0 , |
нормальный |
вектор которой |
||||||||
параллелен линии пересечения плоскостей |
|
|
||||||||
−7 (x −2)+7 (y −1)−7 (z + 2)= 0 или x − y + z +1 = 0 |
||||||||||
2.5. Через точку (2,-1,3) провести плоскость, |
||||||||||
параллельную плоскости x - 2 y |
+ 4z - 5 = 0. |
|
|
|||||||
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид A(x - 2) + B( y +1) +C(z - 3) = 0.
Поскольку плоскости параллельны, то, используя условие параллельности плоскостей (10), подставляем вместо А, В, С значения коэффициентов из заданного уравнения плоскости (с коэффициентом пропорциональности, равным 1)
x −2 −2(y +1)+4(z −3)= 0
или x −2 y +4z −16 = 0.
2.6. Вычислить расстояние от точки М (2;-1;3) до плоскости 11x −2 y +10z +6 = 0.
Решение. По формуле (10) имеем
169
d = |
|
11 2 −2(−1)+10 3 +6 |
|
= 60 |
= 4. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(11)2 +(−2)2 +(10)2 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|||||||
2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через |
||||||||||||||||||
точку M1 (1; −1; 2) |
и перпендикулярной вектору N (4;3; −1). |
|||||||||||||||||
Решение. |
В |
соответствии |
с |
|
|
уравнением |
(5) |
имеем |
||||||||||
4(x -1) +3( y +1) - (z - 2) = 0, откуда 4x +3y - z +1 = 0. |
|
|
||||||||||||||||
2.8. Вычислить угол между плоскостями |
|
|
||||||||||||||||
x +2 y −3z −4 = 0; 2x - y + z +l = 0. |
|
|
||||||||||||||||
Решение. Используя формулу (7), получим |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 2 +2 |
( |
−1 + |
( |
−3 |
) |
1 |
|
|
3 |
|
|||
cosϕ = |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
= − |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 21 |
|||||
|
|
12 +22 +(−3)2 |
22 +(−1)2 +(1)2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда ϕ = arccos − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что в данном случае получен тупой угол. Острый угол между этими плоскостями равен π −ϕ,
2.9. Найти расстояние между параллельными плоскостями
5x +2 y −3z −7 = 0 и 5x +2 y −3z +4 = 0.
Решение. Искомое расстояние равно расстоянию от любой точки, лежащей на одной из плоскостей, до другой. Возьмем на первой плоскости точку, полагая для удобства расчета
x = 0; y = 0 . Тогда |
z = |
7 |
. |
|
0;0; − |
7 |
|
3 |
Расстояние от точки М |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
до второй плоскости находим по формуле (11) |
|
||||||
d = |
|
5 0 +2 0 −3(−7 |
3 )+ 4 |
|
= |
11 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
38 |
|||
25 +4 +9 |
|
|
|
|
|||
170