Документ: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н, страницы 171-175

2.10. Найти уравнения плоскостей, параллельных плоскости

x +2 y - 2z +4 = 0 и отстоящих от нее на расстояние d = 3. Решение. Очевидно, что искомых плоскостей - две.

Пусть точка M (x, y, z) произвольна и принадлежит какой-либо

одной из искомых плоскостей. Поскольку расстояние от точки до плоскости равно трем, то имеем

		x +2 y −2z +4			= 3.


1			+22 +22

Откуда следует, что
	x +2 y −2z +4		= 3;	x −2 y −2z +4		= −3.
3
			3

Таким образом, искомые уравнения плоскостей имеют вид x +2 y −2z −5 = 0; x −2 y −2z +13 = 0.

4.3. Прямая линия

1°. Основные уравнения прямой линии.

1. Уравнение прямой линии в общем виде

A1x + B1 y +C1z + D1

= 0;

(1)

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

2. Уравнение прямой в симметричном (каноническом)

виде

x − x0

y − y0

z − z0

=

,

(2)

m

l

n

где l =

B1

C1

;

m = −

A1

C1

;

n

=

A1

B1

- проекции

B

C

2

A

C

2

A

B

2

направляющего вектора a (l, m, n) прямой, проходящей через

точку M0 (x0 , y0 , z0 ).

3. Параметрические уравнения прямой, проходящейG через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) в направлении вектора a{l, m, n} имеют вид

171

x = x0 +lt; y = y0 +mt; z = z0 +nt,

(3)

где t — параметр.

Если считать, что t - время, то уравнения (3) определяют прямолинейное и равномерное движение точки

M(x,y,z) со скоростью v = l2 +m2 +n2 в направлении вектора aG{l, m, n} .

Точка M0 (x0 , y0 , z0 ) является начальным положением переменной точки M (x, y, z), то есть положением при t = 0 .

2°. Основные задачи на прямую линию.

1. Уравнение прямой, проходящей через две данные

точки

M1 (x1, y1, z1 ) и M2 (x2 , y2 , z2 )									(4)
2. Угол между двумя прямыми
cosϕ = ±		l1l2 +m1m2 +n1n2						.	(5)
cosϕ = ±	l 2	+m 2	+n 2	l	2 +m	2	+n 2	.	(5)
	1	1	1	2	2		2

3. Если две прямые взаимно-перпендикулярны, то сумма произведений их одноименных направляющих

коэффициентов равна нулю
l1l2 +m1m2 +n1n2 = 0.	(6)
4. Если две прямые параллельны, то	одноименные

направляющие коэффициенты этих прямых пропорциональны

l1	=	m1	=	n1	.	(7)
l		m
				n
2	2		2

3.1. Составить симметричные уравнения прямой линии

8x −4 y − z +6 = 0;5x + y −3z +5 = 0.

Решение. Пусть x0 = 0 , тогда

−4 y − z +6 = 0;y −3z +5 = 0,

откуда y0 =1; z0 = 2.

172

Воспользуемся теперь формулой

(2)

−4

−1

8

−1

=19;

n =

8

−4

= 28.

l =

=13; m = −

1

−3

5

−3

5

1

x

=

y −1

=

z −2

.

13

19

28

3.2.

Получить

параметрические

уравнения

прямой

x −2

=

y +1

= z.

3

4

Решение. Обозначим в симметричном уравнении

прямой равные отношения буквой t

x −2

=

y +1

=

z

= t,

3

4

1

откуда x = 2 +3t,

y = −1+4t,

z = t.

3.3. Написать уравнение прямой, проходящей через

точки M1 (2,1, −1)

и M2 (4, −3, 2).

Решение.

Принимая

в

качестве

элементов,

определяющих прямую, точку M1 и направляющий вектор

(2, −4,3), запишем по формуле (4) уравнение прямой

M1M2

x −2

=

y −1

=

z +1

.

2

−4

3

3.4. Написать уравнение прямой, проходящей через

точки пересечения плоскости x +2y - 3z - 2 = 0 с прямыми

x −5

=

y −3

=

z

и

x −7

=

y −1

=

z +1

.

−5

5

1

2

4

1

Решение. Запишем уравнение первой прямой в

параметрическом

виде

x = 5 −5t, y = 3 +t, z = 2t.

Для

нахождения точки пересечения прямой с плоскостью подставим эти уравнения в уравнение плоскости и найдем параметр t

5 −5t +6 +2t −6t −2 = 0, −9t = −9, t =1.

173

Отсюда координаты точки пересечениях					x1 = 0,	y1 = 4,
z1 = 2.
Параметрические		уравнения	второй	прямой		будут
x = 7 +5t,	y =1+4t, z = −1+t. Подставляя			их	в уравнение
плоскости 7 +5t +2 +8t +3 −3t −2 = 0,			находим,		что t = −1 и
координаты	точки	пересеченияx2 = 2, y2 = −3, z2 = −2.

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, получим

2x = −y3−−44 = −z2−−22 или 2x = y−−74 = z−−42 .

3.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 (1,0, −3) параллельно линии пересечения плоскостей x +2 y − z +3 = 0 и 3x − y −4z +2 = 0.

Решение. Перемножая векторно нормальные к заданным плоскостям векторы, находим вектор параллельный

линии их пересечения

Gj

kG

JJG

i

G

N

= N1 ×N2 =

1 2 −1

= −9i

+ j −7k.

3 −1 −4

Уравнение прямой, проходящей через точку М

паралельно вектору N, примет вид

x −1

=

y

=

z +3

.

−9

1

−7

3.6. Найти угол, образованный прямыми:

x −1

=

y +3

= 7

;

x +1

=

y −5

=

z −2

.

2

3

6

9

2

6

Решение. Угол между прямыми находим по формуле (5)

cosϕ =

2 3 +6 2 +9 6

= 72

= 0,936,

+62 +92 32 +22 +62

22

77

откуда ϕ = 20D30'.

174

3.7. Составить уравнения движения точки М, которая, имея начальное положениеM0 (1; 2;1), движется прямолинейно

и равномерно в направлении вектора a ={4;4;2} со скоростью

v =18м/ с.
	G	Решение. Сравнивая модуль вектора а, который равен
	a	= 42 +42 +22 = 6 с заданной скоростью v = 18м/с,

видим, что в качестве вектора s следует взять вектор в три

раза больший, т. е.

s ={12;12;6} .

Согласно

формулам

(3)

уравнения движения будут

x =1+12t; y = 2 +12t; z =1+6t.

4.4. Прямая и плоскость

1.

Угол между прямой и плоскостью

sinϕ = ±

Al + Bm +Cn

.

(1)

A2 + B2 +C2

l2 +m2 +n2

2.

Условие параллельности прямой и плоскости

Al + Bm +Cn = 0.

(2)

3.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

A

=

B

= C .

(3)

m

l

n

4.

Уравнение пучка плоскостей

A1x + B1 y +C1z + D1 +λ(A2 x + B2 y +C2 z + D2 )= 0.

(4)

5.

Точка пересечения прямой

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

и

l

m

n

плоскости Ax + By +Cz + D = 0 находится по формулам

x = x0 +tl; y = y0 +tm; z = z0 +tn,

где t =

Ax0 + By0 +Cz0 + D

.

Al + Bm +Cn

x

y −2

z +1

4.1. Найти точку пересечения прямой

=

2

1

3

и плоскости 2x + y − z −7 = 0.

175

Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Смотрите также: