Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 4.4

2°. Однополостный гиперболоид. Каноническое

уравнение имеет вид
	x2	+	y2	−	z2	=1.	(3)
	a2		b2		c2

где a,b — полуоси эллипса в плоскости xOy (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Форму поверхности определяют методом сечений. При

z=0 в плоскости	xOy	получают	x2	+	y2	=1 — наименьший из
			a2		b2

всех возможных эллипсов, который называется горловым.

181

Сечения поверхности с плоскостями yOz

и xOz образуют

гиперболы

−

=1 и

−

=1.

x = a образует две

Сечение поверхности с плоскостью

прямые

= 0;

−

= 0 . Можно установить, что через любую

точку однопостного гиперболоида проходят две прямые,

лежащие на этом гиперболоиде.
Поэтому однополостный гиперболоид					называют
линейчатой поверхностью.
Если a = b , то уравнение (3) принимает вид
	x2 + y2	−	z2	=1	(4)
	a2		c2

и поверхность, соответствующая этому уравнению, называется

однополостным гиперболоидом вращения. Она образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

3°. Двухполоетный гиперболоид. Каноническое уравнение имеет вид

	x2	−	y2	−	z2	=1.	(5)
	a2		b2		c2

При x = a получаем точки A1 (a, 0, 0) и							A2 (−a, 0, 0) —

вершины поверхности (рис. 4.6). В сечении с плоскостями

	x	> a поверхность			образует		эллипсы. В сечении с

плоскостями xOy и xOz получаются гиперболы
			x2	−	y2	=1;	x2	−	z2	=1.
			a2		b2		a2		c2

Поверхность (5) симметрична относительно плоскости yOz . 182

Рис. 4.6

При b = c уравнение (5) принимает вид

x2	−	y2 + z2	=1
a2		b2

и поверхность, соответствующая этому уравнению, называется

двухполостным гиперболоидом вращения. Она образуется при вращении гиперболы вокруг оси Ox .

4°.	Эллиптический					параболоид.	Каноническое
уравнение имеет вид
		x2	+	y2	= z;	p > 0; q > 0.	(6)
		2 p		2q

При пересечении с плоскостями z = h							поверхность (6)
образует эллипс (рис. 4.7).

Рис. 4.7

183

(h < 0)

В сечении с плоскостями xOz и yOz поверхность

образует параболы	x2 = 2 pz	и y2	= 2qz . При		p = q уравнение
(6) принимает	вид	x2 + y2	= 2 pz	и	поверхность,

соответствующая этому уравнению, называется параболоидом вращения. Она образуется вращением параболы вокруг оси z.

5°. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение имеет вид

−

= z; p < 0; q > 0.

(7)

2 p

xOy

Сечение поверхности (7) с плоскостью

образует

пару прямых

y =

y = −

x (рис.

4.8).

Сечения

поверхности с

плоскостями z = h

(h > 0) — гиперболы, у

которых действительная ось параллельна оси Ox . Сечения с плоскостями z = h - гиперболы, у которых действительная ось параллельна оси Oy . Сечения поверхности с плоскостями xOz и yOz представляют параболы x2 = 2 pz и y2 = −2 pz.

Рис. 4.8

184

	Если	p = q ,	то	уравнение		(7)	принимает	вид
x2 + y2	= 2 pz , гиперболы в сечениях будут равносторонними,
а параболы будут иметь равные параметры.
	При повороте системы координат вокруг оси Oz							на
угол	135D	уравнение		(7)	примет	видxy=pz . Сечения
поверхности		плоскостями			z = h	суть	равносторонние
гиперболы.		Плоскость	xOy		пересекает эту		поверхность	по

осям координат.

6°. Цилиндрические поверхности. Уравнения, не содержащие какой-либо одной координаты, в пространстве изображаются цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны отсутствующей координатной оси. Само же уравнение есть уравнение направляющей кривой этого цилиндра.

1. Эллиптический цилиндр (рис. 4.9)

	x2	+	y2	=1.	(8)
	a2		b2
					xOy , служит
Направляющей, лежащей в плоскости

эллипс.

Если a = b , то направляющая есть круг, а цилиндр называется круговым.

Рис. 4.9

2. Гиперболический цилиндр (рис. 4.10)

185

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1