Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
( 0; − 12 ; − 12 ), В (-3; 1; 1) и С (2; 4; -7), плоскость β задана уравнением x − y − mz −1 = 0 .
7. |
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М |
||
|
(1; -1; 2), N (3; 1; -2) и перпендикулярной к плоскости |
||
|
ХОY. |
|
|
8. |
Написать |
канонические |
уравнения |
x − y − z − 2 = 0,
прямой: x − 2y + z + 4 = 0 .
9. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 2; 3), если
направляющий вектор S прямой образует с координатными осями ОХ и OZ углы α = 120°, γ = 45°, а с осью ОY - острый угол.
10. |
В плоскости XOZ найти прямую, проходящую через |
|||||||||
|
начало |
координат |
|
и |
перпендикулярную |
к |
||||
|
прямой |
x − 2 |
= |
y +1 |
= |
z −5 |
. |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|||
11. |
При каком значении С плоскость 2x +3y +Cz −3 = 0 будет |
|||||||||
|
параллельна |
прямой |
2x + |
3y + z −10 = 0, |
. При С = |
-2 |
||||
|
|
5y − z + 24 = 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
4x − |
|
|
||
найти угол между ними.
Вариант 11
1.Показать, что точки M(4; 3), N (5; 0), Р (-5; -6) и Q (-1; 0)
являются вершинами трапеции. Найти уравнение высоты трапеции, её длину.
2.Найти угол наклона к оси ОХ .и начальную ординату
прямой −x1 + −y3 =1.
3. Определить, какие из уравнений прямой являются
нормальными: |
|
|
|
|
|||||||
1) |
|
8 |
x − |
|
15 |
y − 2 = 0 ; 2) |
3 |
x + |
4 |
y +1 = 0 ; |
|
17 |
17 |
5 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
211 |
|
|
|||||
|
3) |
2 |
x − |
2 |
y − 4 = 0 ; 4) |
x |
+ |
3 |
y − |
15 |
= 0 ; |
|
|
|
3 |
10 |
10 |
10 |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
4. |
Найти вершины прямоугольного равнобедренного |
|||||||||||
|
треугольника, если даны вершина прямого угла С(3; -1) и |
|||||||||||
|
уравнение гипотенузы 3x − y + 2 = 0 . |
|
|
|
||||||||
5. |
Найти |
такое |
число |
|
α, |
чтобы |
плоскость |
|||||
|
ax + 2ay +10z − 2 = 0 |
была |
|
параллельна |
плоскости |
|||||||
x + 2y +5z −7 = 0 , и определить расстояние между ними.
6.Построить линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью α, проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1;
1)и С(2; 3; 2), Найти угол между плоскостью α и плоскостью XOZ.
7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
М(1; 1; 1) параллельно векторам а |
={0; 1; 2} и |
b |
= {-1; 0; |
||
l}.Указать особенность в расположении плоскости. |
|||||
8. Написать |
канонические |
уравнения |
|||
4x + y −3z + |
2 = 0, |
. |
|
|
|
прямой: |
= 0 |
|
|
|
|
2x − y + z −8 |
|
|
|
|
|
9. Дан треугольник с вершинами А(3; -2; 5), В(-1.2; 3) и С(5; 4; -3). Найти угол между медианами, проведенными из вершин А, С, и их длины.
10. Найти проекцию точки М (1; 2; -3) на плоскость
6x − y +3z − 41 = 0 .
11. Параллельны
x = 2t +5,
y = −t + 2, и
z = t −7
ли прямые
x +3y + z + 2 = 0,z − y −3z − 2 = 0 ?
Вариант 12
1.Даны две вершины треугольника: А (-4; 3), B (4; -1) и точка пересечения высот М (3; 3). Найти третью вершину С.
2.Написать уравнение прямой, если длина нормали р = 2, а угол наклона её к оси ОХ равен 225°.
212
3. Показать, |
что |
прямые |
x |
+ |
y |
=1 и y = |
3 |
x + |
1 |
|
2 |
−3 |
2 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
параллельны. Найти расстояние между ними. Построить указанные прямые.
4.Прямые АВ и СD пересекаются в точке М(4; 2; 5) под углом 45°. Написать уравнение прямой СD, если координаты точки А(0; 5).
5.Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и равноудаленной от точек А (2; 7; 3) и 3 (-1; 1; 0).
6.Плоскость α проходит через проекции точки М (2; 1; 2) на оси координат, а плоскость β через точки А (1; 2; 3), B (-2; 0; -1) и С (0; 1; 2). Найти угол между плоскостями α и β.
7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) параллельно вектору a ={3; 0; 1} .
Полученное уравнение привести к нормальному виду.
8. Написать |
канонические |
уравнения |
||
6x −7 y − 4z − 2 |
= 0, |
. |
|
|
прямой: |
|
0 |
|
|
x + 7 y − z −5 |
= |
|
|
|
9.Даны две вершины треугольника: А (-4; -1; 2) и В (3; 5; - 16). Найти третью вершину С и угол при вершине А, зная, что середина стороны АС лежит на оси ОY, а середина стороны ВС -на плоскости XOZ .
10.Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
x−4 5 = y 3− 2 = z−+21 .
x − 2y +3z +15 = 0,
11.При каких значениях В и D прямая 2x +3y − 4z −12 = 0
лежит в плоскости x + By +3z + D = 0 ?
Вариант 13
1. Даны координаты середин сторон треугольника: А(1; 2), B(7; 4), С(3; -4). Составить уравнения сторон треугольника.
213
x +42 
5 + y −22 
5 = 0 . Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.
3.Найти расстояние от точки пересечения прямых, заданных
уравнениями |
x |
+ |
y |
=1 и x − 4y +8 = 0 |
до |
прямой |
8 |
|
|||||
x + 2y + 2 = 0 . |
6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС
известны вершина острого угла А(2; 6) и |
уравнение |
противолежащего катета BC : x −7 y +15 = 0 . |
Составить |
уравнения двух других сторон.
5.Найти расстояние от точки М (0; -1; 1) до плоскости,
проходящей через точки А(1; 4; -5) и В(4; 2; -3) и перпендикулярной плоскости 3x +5y −6z −8 = 0 .
6.Вычислить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точки А(2; 1; 8), В(-1; 3; 4)
иС(3; 0; 12).
7.Дана плоскость 2x − 2y + z −6 = 0 . Найти углы её нормали
с осями координат. Проверить, проходит ли плоскость через одну из следующих точек: А(1; -2; 1), В(3; 2; 4),
|
1 |
; |
− |
1 |
; |
13 |
|
1 |
; − |
1 |
; |
11 |
|
||||
С |
|
|
|
|
|
, D |
|
|
|
|
|
. |
|||||
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
Написать |
канонические |
|
|
уравнения |
|||||
|
3x +3y − 2z −1 = 0, |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
прямой: |
+ 6 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2x −3y + z |
|
x −12 |
|
y −9 |
|
z −1 |
|
||
9. |
Найти точку пересечения прямой |
= |
= |
с |
||||||
4 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
плоскостью 3x +5y − z − 2 = 0 и угол между ними.
214
10. При |
|
каком |
|
значении |
m |
прямые |
|
x +3z −5 |
= 0, |
|
x =1+3t, |
|
|
|
|
и |
|
, |
будут |
взаимно |
|||
|
|
|
y = 2 +5t |
||||
2x |
+ my +3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = −1−6t |
|
|
|
перпендикулярны?
11. Три вершины трапеции находятся в точках А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3). Найти уравнение средней линии трапеции, параллельной АВ.
Вариант 14
1.Вершинами треугольника служат точки A(-8; 1), B(1; -2) и C(6; 3). Найти центр описанной около него окружности.
2.Через точку М (3; 2) провести прямую так, чтобы её отрезок, заключенный между осями координат, делился в данной точке пополам.
3.Составить уравнение прямой, имеющей угловой
коэффициент k = − 12 и отстоящей от начала координат на расстояние 
5 .
4.Две прямые, проходящие через начало координат,
образуют собой угол arctg(13) . Отношение угловых
коэффициентов этих прямых равно 72 . Составить уравнения этих прямых.
5.Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости,
проходящей через точки M(3; 3; -4), N(5; 0; -2), Р(4; 0; 0) и
удаленных от неё на расстояние d = 4.
6.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОX и составляющей угол 60° с плоскостью Y = X.
7.Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей
через точку М(-3; -6; 4) перпендикулярно вектору N ={2; - 1; 6}.
215