Материал: Приближенные методы-Буханько АА

Таблица 2.2 – Результаты вычислений для примера 2.2 (первый способ)

Таблица 2.3 – Результаты вычислений для примера 2.2 (второй способ)

Сравнивая результаты вычислений, видим, что лучший результат вычислений получается при втором способе заполнения первых двух слоев таблицы.

36

2.3 Метод сеток для задачи Дирихле

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона (задачу Ди-

рихле): найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую внутри некоторой области G уравнению

где (x, y) - заданная непрерывная функция.

нечно разностными отношениями (2.3), а уравнение (2.19) – конечноразностными уравнениями:

систему линейных алгебраических уравнений. Наиболее простой вид эта сис-

а значения в граничных узлах в точности равны значениям граничной функции. При f (x, y) 0 уравнение (2.19) называется уравнением Лапласа и соответствующие конечно-разностные уравнения имеют вид

При составлении уравнений (2.21) и (2.22) была использована схема узлов, представленная на рис. 2.4. На рис. 2.5 показана другая схема узлов, при которой конечно-разностные уравнения, соответствующие уравнению Лапласа, принимают вид

37

Рис. 2.4. Рис. 2.5.

а для уравнения Пуассона

причем погрешность аппроксимации не превосходит 4h2 M4 . 3

Другие схемы узлов, расположенных определенным образом около узла (i, j) , рассмотрены в [1].

Пример 2.3. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике A(0, 0), B(0,1), C(1, 2), D(2, 0) :

Построим сетку с шагом h 0,5 , получим три внутренних узла (рис. 2.6). Запишем в этих узлах конечно-разностные уравнения согласно (2.21) и под-

Рис. 2.6.

38

ставим известные из краевых условий значения uij в граничных узлах:

После преобразования получим алгебраическую систему уравнений относи-

2.4 Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений

Непосредственное решение системы конечно-разностных уравнений методами последовательного исключения при большом числе узлов оказывается

39

слишком громоздким. Тогда более удобны итерационные методы решения, которые учитывают специальный вид таких систем [1-3] . Рассмотрим наиболее простой метод – процесс усреднения Либмана для систем вида (2.22), согласно которому вычисления ведутся следующим образом: выбрав начальные приближения uij(0) , последовательные приближения uij(k 1) для внутренних

узлов сеточной области определяются по формуле

Доказано [5], что для любого шага сетки h процесс Либмана сходится к точному решению независимо от выбора начальных значений, т.е. существует

lim u( k ) u ,

k ij ij

причем погрешность приближенного решения имеет порядок O h2 .

Обычно итерации продолжаются до тех пор, пока в двух последовательных приближениях не совпадет требуемое количество десятичных знаков. Для оценки погрешности приближенного решения уравнения Лапласа можно использовать принцип Рунге [1], согласно которому погрешность h при-

ближенного решения uh , полученного с шагом h , дается приближенной формулой

где u2h - приближенное решение, полученное с шагом 2h .

Пример 2.4. Применяя метод усреднения Либмана, найти приближенное решение задачи (21) с шагом h 12 . Итерации проводить с точностью до

0,01.

Запишем итерационную формулу для соотношения (2.22):

В предлагаемой сеточной области (рис. 2.6) три внутренних узла u11 , u21 , u31 , соотношение (2.25) для каждого их этих узлов примет вид

40