Документ: Приближенные методы-Буханько АА, страницы 26-30

u		ui 1, j	ui 1, j	,	u	ui, j 1	ui, j 1	;
x	ij		2h		y ij		2l

в граничных узлах используем менее точные формулы:

u		ui 1, j	uij	,	u	ui, j 1	uij	.
x	ij	h			y ij	l

Частные производные второго порядка заменяются соотношениями:

2u		ui 1, j	2u ij	ui 1, j	,	2u		ui, j 1	2u ij	ui, j 1	.
2 x	ij		h2			2 y	ij		l 2

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Все разностные схемы можно разбить на два типа: явные и неявные. Явными

называются такие схемы, что при любом j		в каждое из уравнений, связы-
вающих	значения искомого решения	на горизонтальных рядах
j, j 1,	, j n , входит лишь одна точка ряда	j , так что значения решения в

каждом узле j -го горизонтального ряда можно вычислить независимо от его

значений в других узлах этого ряда (исключая граничные узлы), рис. 2.2,а. Неявными называют такие схемы, когда для определения значений решения в узлах j -го ряда при известных значениях решения во всех предыдущих ря-

дах нужно решать систему уравнений, связывающих значения решения в узлах j -го ряда, рис. 2.2,б.

(а)	(б)
	Рис. 2.2

Таким образом, явные схемы позволяют очень просто вычислить значения искомого решения в узлах j -го горизонтального ряда, если известны значе-

ния решения на предыдущих рядах. Но они имеют существенный недостаток: для того, чтобы они были устойчивы, необходимо налагать сильные ограничения на сетку. Кроме того, если в ходе решения необходимо уменьшить шаг по x , то нельзя этого сделать, не уменьшая шага по y . Неявные схемы сво-

бодны от этого недостатка, но использование их связано с другой трудностью: для отыскания значений решения в узлах j -то горизонтального ряда

26

при известных значениях в узлах предыдущих рядов приходится решать систему алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.

При использовании конечно-разностной схемы для решения краевой задачи возникает важный вопрос об устойчивости такой схемы. Конечноразностная схема называется устойчивой, если малые погрешности, допущенные в процессе решения, затухают или, во всяком случае, остаются малыми при неограниченном увеличении номера текущего слоя, [1,2]. В противном случае схема называется неустойчивой. Очевидно, что неустойчивая конечно-разностная схема противопоказана для вычислений, так как неизбежные незначительные ошибки, например погрешности округлений, могут создать большие отклонения от точного решения краевой задачи и привести к результатам, не имеющим ничего общего с действительностью.

Отметим, что погрешность приближенного решения, полученного разностным методом, складывается из трех погрешностей:

погрешности замены дифференциального уравнения разностным; погрешности аппроксимации краевых условий; погрешности, получаемой в результате того, что система разностных

уравнений решается приближенным методом.

2.1 Метод сеток для уравнений параболического типа

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности1: найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую уравнению

u

a2

2u

,

(2.4)

t

x2

начальному условию

u(x, 0)

f (x) (0

x

s)

(2.5)

и краевым условиям

u(0,t)

(t),

u(s,t)

(t) (t

0) .

(2.6)

Для отыскания приближенного решения задачи (2.4)-(2.6) методом сеток

рассмотрим прямоугольную сетку узлов в полосе

t 0 ,

0 x s , образуе-

мую точками пересечения двух семейств параллельных прямых:

x ih

(i

0,1, 2,

),

t

jl

( j

0,1, 2,

).

Введем обозначения xi

ih,

t j

jl,

uij

u(xi ,t j )

и приближенно заменим в

каждом внутреннем узле

(x , t

) производную

2u

разностным отношением

j

i

x2

1 Задача о распространении тепла в однородном стержне длины s , [5].

27

2u

ui 1, j

2u ij

ui 1, j

,

(2.7)

2 x

ij

h2

а производную

u

одним из двух разностных отношений:

t

u

ui, j 1

uij

,

u

uij

ui, j 1

.

t ij

l

t ij

l

В соответствии с предлагаемыми способами аппроксимации производных получим для уравнения (2.4) два типа конечно-разностных уравнений2:

ui, j 1	uij	a2	ui 1, j	2u ij	ui 1, j		,
l		a2		h2			,
l				h2
uij	ui, j 1	a2	ui 1, j	2u ij	ui 1, j	.
l		a2		h2		.
l				h2

Первая разностная схема является явной схемой, вторая – неявная. Полученные разностные уравнения содержат значения решения в четырех узлах и

аппроксимируют уравнение (2.4) с точностью до O(l h2 ) [1].

Обозначив	a2l	, приведем эти уравнения к виду
Обозначив	h2	, приведем эти уравнения к виду
	h2
	ui, j 1		1	2 uij	ui 1, j	ui 1, j	,	(2.8)
	1 2		uij	ui 1, j	ui 1, j	ui, j 1	0 ,	(2.9)
При выборе числа	в уравнениях (2.8), (2.9) следует учитывать, что:

-погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна быть наименьшей;

-разностное уравнение должно быть устойчивым.

В [1,2] доказано, что уравнение (2.8) будет устойчиво при 0	1	, а урав-
	2

нение (2.9) – при любом . Наиболее простой вид уравнение (2.8) принимает

при		1	:
при		2	:
		2
			u	ui 1, j		ui 1, j		,		(2.10)
			u					,		(2.10)
			i, j 1			2
						2
					u		ui, j 1		ui, j 1
2	Использование разностного отношения				u		ui, j 1		ui, j 1	приводит к
	Использование разностного отношения				t	ij			2l	приводит к
					t	ij			2l

неустойчивой разностной схеме [1].

28

а при

1

:

6

u

1

u

4u

u

.

(2.11)

i, j 1

6

i 1, j

ij

i 1, j

Оценки погрешностей приближенных решений, получаемых из уравне-

ний (2.10), (2.11) и (2.9) в полосе

0

x

s ,

0

t

T

соответственно имеют

вид3 [4]:

u u

T

M

h2 ,

u u

T

M

2

h4 ,

u u

T

l h2

M

1

,

3

1

135

2

12

где u - точное решение задачи (2.4) – (2.6);

M

1

max

f IV

x

,

x

,

x

,

M

2

max

f VI

x

,

IV

x

,

IV x

.

0

x

s

0

x

s

0

t

T

0

t

T

Из приведенных оценок погрешностей следует, что уравнение (2.11) дает более высокую точность решения по сравнению с решением (2.10). Но уравнение (2.10) имеет более простой вид, а, кроме того, шаг l по аргументу t для уравнения (2.11) должен быть значительно меньше, что приводит к большему объему вычислений. Уравнение (2.9) дает меньшую точность, но при этом шаги l и h выбираются независимо друг от друга. Уравнения (2.10), (2.11) позволяют вычислить значения функции u(x, t) на каждом слое по явным

формулам через значения на предыдущем слое; уравнение (2.9) – неявная схема – этим свойством не обладает.

Данным методом можно решать смешанную краевую задачу для неодно-

родного параболического уравнения
	u	a2	2u	F x,t .
	t		x2

Тогда соответствующее разностное уравнение, использующее явную схему узлов, имеет вид

ui, j 1 1 2 uij

ui 1, j

lFij .

Откуда при

1

имеем

2

u

1

u

lF ;

(2.12)

i, j 1

i 1, j

2

ij

3 Оценки погрешности даны для случая a

1 . Читателю предлагается самостоятельно

получить выражение оценки при

a 1 . Аналогично для оценок в рассматриваемых

далее методах.

29

при 16 :

u	1	u	4u	u	lF .	(2.13)

i, j 1	6	i 1, j	ij	i 1, j	ij

В этом случае имеют место следующие оценки погрешности [4]:

u u

T

M

2

1

M

4

h2 ,

u u

T

1

M

3

1

M

6

h4 ,

4

3

72

3

5

где M 2

max

2u

, M3

max

3u

, M 4

max

4u

, M6 max

6u

.

t2

t3

x4

x6

Пример 2.1. Используя разностное уравнение (2.12), найти приближен-

ное решение уравнения

ut

8uxx ,

удовлетворяющее условиям

u

x, 0

13sin

x

0

x

2 ,

2

u 0,t

, u 2,t

0

t 0 ,

и сравнить его с аналитическим решением.

Выберем

по

аргументу

x

шаг h 0, 25 и

воспользуемся конечно-

разностным уравнением (2.10), т.е.

1 2 , откуда шаг по аргументу t

будет

l

h2

0, 0039 . Записываем в табл. 2.1 начальные и краевые значения, т.е.

a2

заполняем строку при

j

0 и крайние столбцы (при i

0 и i

8) соответст-

венно. Значения функции u(x, t)

на первом слое находим, используя значения

на нулевом (начальном) слое и краевые условия согласно (2.10) при j

0 :

u

ui 1,0

ui

1,0

.

i,1

2

Откуда получаем

u

1

u

1

9,1924

0

4, 5962,

20

00

11

2

u

1

u

1

12, 0104

4, 9749

8, 4927

21

30

2

10

2

и т.д.

30

Материал: Приближенные методы-Буханько АА

Смотрите также: