Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Соответствующая этому графу система дифференциальных уравнений имеет вид

^ % L = _X p0(/)

dp]}P~— ~ ~Ь нОР\ (О4- ^Ро(О-

at

Преобразование Лапласа для этих уравнений при отыскании за­

кона распределения величины Г0(ро(0) = 1; P i(0)= 0) запишет­ ся так:

Решая эту систему относительно изображения p\(s), получим

(2.7.4)

^__2Х + [I -Ь \' 4X;J. 4- JJ.2

— 2

корни уравнения х2+ (2Л+ц)х + л2 = 0, взятые с обратным знаком.

Тогда искомая плотность распределения случайной величины Т0 будет

Нетрудно убедиться в том, что условие

j u t ) d t = \

о

выполняется.

Действительно:

81

так как произведение корней равно свободному члену. Найдем математическое ожидание Т0:

При отыскании закона распределения случайной величины Т\

начальными условиями будут ро(0)=0; pi(0) = l. В этом случае преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений при­ мет вид

(s-г'-) AjOO-tJ-Pi (s) = 0;

(s -j- >'+!*) PI (s)— Xp0 (s) = s.

Решая эту систему относительно Pi{s), получим

s(s + l)______

Р\ (s) = - s2 + S (2), + jx) + X2

откуда

a— b

где а и b находятся из формул (2.7.4).

Следовательно:

Сравнивая это выражение с выражением для математического ожидания случайной величины Г0, убеждаемся в том, что для любых К>0 и р > 0 значение ?0>Г Ь

82

Это объясняется тем, что система будет блуждать по состоя­ ниям х0 и Х\ в среднем больше, если она в начальный момент

где pm+\(t) — есть вероятность того, что к моменту t бомбарди­

ровщик будет поражен.

Тогда искомую вероятность найдем по формуле

где R(m, а) — табулированная функция (см. приложение).

83

вестна интенсивность пуассоновского потока событий 'k(t), пере­

При л(/) = \ = const получим:

рис. 2.7.7а. Требуется найти закон распределения времени Г0,1 нахождения системы в состояниях х0, хх в стационарном режиме,

если интенсивности всех потоков равны 1----

сек

Ре ш е н и е

Всоответствии с графом состояний система из группы со­ стояний х0ч Х\ может попасть только в состояние х2. Попав в со­

стояние х2, система с вероятностью 7г перейдет в состояние х0,

либо с вероятностью 72 — в состояние х3 (а оттуда в состояние *i). Следовательно, блуждание в группе состояний х0, Х\ с равной

вероятностью 72 может начаться из состояния х0 или из состоя­

ния Х\ . Граф состояний подсистемы X, с помощью которого мож­ но найти искомый закон распределения времени Г0,1 блуждания по состояниям х0, хи представлен на рис. 2.7.76.

84

График этой функции представлен на рис. 2.7.7в. Математическое ожидание времени пребывания в состояниях

-т0, Xj будет равно

/о,1= \ i/o.i{t)dt=-Y сек.

О

2.7.8. Автомашина при ее эксплуатации может находиться в следующих состояниях:

Граф состояний автомашины показан на рис. 2.7.8а. Среднее время межремонтного пробега равно 10. Среднее время осмотра машины равно t\. После осмотра автомашина подвергается капи­ тальному ремонту с вероятностью q2i среднему ремонту с веро­ ятностью <7з и текущему ремонту с вероятностью (<72+<7з4-<74= = 1). Среднее время проведения капитального ремонта равно t2,

среднее время проведения среднего ремонта равно /з, среднее

время проведения текущего ремонта равно /4. Определить веро­ ятность того, что машина будет исправна (для стационарного режима), вероятность того, что время простоя машины будет не более t и среднее время простоя машины.

Р е ш е н и е

Найдем интенсивности потоков, переводящих автомашину из состояния в состояние:

Считая, что все потоки простейшие с выше указанными интенсивностями, найдем вероятность р0 того, что машина будет

исправна для стационарного режима. Решим соответствующую систему однородных алгебраических уравнений:

о = — ^0,1Ро+ *'2,0Р2“Ь ^3.0Pz ^4,0^1>

86