расходится [22]. В противном случае имеет место неравенство
2 а ( 0 < 1 .
откуда
1—2 P * V )= P (f)> 0 -
к=0
Последнее неравенство означает, что за время t имеется конечная вероятность p(t) того, что в процессе чистого размно
жения произойдет сколь угодно большое (бесконечное) число переходов. Такие процессы имеют место при рассмотрении явле нии типа «взрыва».
В процессах чистого размножения при отсутствии ограниче ний на число состояний (п=оо) стационарный режим не сущест
вует. В этом случае будет иметь место постоянное «движение» системы в сторону состояний, находящихся «справа».
В начале этого параграфа указывалось, что процессы функ ционирования большинства рассматриваемых в книге систем массового обслуживания можно представить как процессы гибе ли и размножения. Из этого следует, что основные соотношения и формулы для этих систем массового обслуживания могут быть получены из формул этого параграфа как различные частные случаи процесса гибели и размножения. Однако такое методи ческое построение книги привело бы к более формальному изложению материала и не дало бы возможности раскрыть физический смысл, вкладываемый в те или иные соотношения и формулы.
Так как книга имеет прежде всего прикладной характер, по этому все соотношения и формулы мы будем выводить из физи ческих условий работы той или иной системы массового обслу живания, а не как частные случаи формул этого параграфа. При этом мы будем широко использовать общие результаты, полу ченные для процессов гибели и размножения.
§ 2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ НАХОЖДЕНИЯ В ГРУППЕ СОСТОЯНИИ
При рассмотрении различных задач теории массового обслу живания зачастую требуется найти закон распределения времени пребывания системы в группе состояний. Например, при рассмот рении системы с очередью требуется определить закон распреде ления времени наличия в системе очереди, которое отсчитывается от момента возникновения очереди до момента, когда последняя заявка, стоящая в очереди, уйдет из нее (т. е. очередь будет ликвидирована).
70
Как уже указывалось, граф состояний большинства рассмат риваемых в книге систем X имеет вид, показанный на рис. 2.6.1.
Такая система имеет (п+1) состояний, переход возможен непосредственно только в «соседние» состояния. Переход «через состояния» невозможен вследствие ординарности пуассоновского потока событий. Процессы, описываемые такими системами, на зываются процессами гибели и размножения (см. § 2.5).
' Руппа состояний
Рис. 2.6.1
Найдем закон распределения времени Т непрерывного пре
бывания системы в группе состояний
x h х 1+и •••, x j - и Xj (/ = 0 , 1, 2,. п; у = 0 , 1, 2, . . . п\ / < у )
при условии, что в начальный момент времени / = 0 система на ходилась в каком-то одном из этих состояний. Для определенно сти будем считать этим состоянием х*. Очевидно, нахождение закона распределения времени Т эквивалентно отысканию зако
на распределения времени блуждания системы по состояниям
Xj до |
п е р в о г о |
выхода за пределы этих состояний, если |
|
в начальный момент |
времени £ = 0 система была |
в состоянии |
|
Ы К К П - |
Д ля отыскания этого закона применим |
следующий |
|
Рис. 2.6.2
прием: представим себе некоторую подсистему X, состояния ко
торой изображены на графе (рис. 2.6.2). Эта подсистема имеет, кроме исследуемой группы состояний х,-, ..., Xj, еще два смежных состояния «слева» и «справа», в которые она может только ухо дить, но из которых она не может возвращаться. Этой подсисте ме соответствует система дифференциальных уравнений:
71
p'i—1(0 = b u -iP /(0 ;
Pi (t)= —Q'IJ+I’T'^IJ—I) Pi (0 “b ^1+ljPi +l (0’»
P k { t ) = |
— (>‘* , * + i + * * . * - i ) |
P k (0 + ^ - 1 , k P k - \ ( t ) - \ - |
|
|
(2 |
6 1) |
|
“b^fc+l,ft/?£+l (0 (^ <C ^ <C j)\ |
|
|
|
|
|
Pi (0 = |
“ • (*7J+i + \л;—i) Pi ( 0 + ^ j - U j P j - 1 (0; |
|
|
|
|
|
/>y+i(0=*yj+i/>}(*)• |
|
|
|
|
|
|
Так как в начальный момент времени |
/ = 0 |
известно, |
что |
|||
система находится в состоянии Xi(i^l^Zj), |
то |
интегрировать |
||||
уравнения (2.6.1) нужно при начальных условиях |
|
|
|
|||
|
Pi(0 )= 1 ; |
pk(0) = 0 (i <1 < у; |
А Ф I). |
(2.6.2) |
||
Найдем функцию распределения F(^) времени Г пребывания
системы X в группе состояний л:*, ..., Xj. Она равна вероятности того, что это время Т будет меньше, чем У, т. е. что к моменту
времени t система не будет находиться в группе состояний Xi, ..., xj, а будет находиться либо в состоянии хг-_ь либо в состоя нии xj+1. Следовательно:
F (0 = Л--1 (0 + ? ;+i (*) |
(* > 0). |
|
(2.6.3) |
||||||
Так как производная dF(t)/dt существует, то плотность рас |
|||||||||
пределения непрерывной |
случайной |
величины |
Т будет равна * |
||||||
r / , , _ |
dF(t) |
_ |
dP i - \( t) |
, |
dpj+l(t) |
|
(2.6.4) |
||
|
dt |
|
dt |
' |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Воспользовавшись |
системой уравнений |
(2.5.1), получим |
|
||||||
f V ) = h j - i M f ) + h.HIPJV) |
> |
0). |
(2.6.5) |
||||||
Хотя система X отличается от системы X, но закон распреде |
|||||||||
ления времени пребывания ее в группе состояний Xi, |
Xj будет |
||||||||
тот же, как и у системы X. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, поскольку мы предполагаем, что в начальный |
|||||||||
момент t = 0 система X находится в одном |
из состояний группы |
||||||||
(хг-, ..., Xj) и рассматривается |
только время до |
п е р в о г о |
вы |
||||||
хода из этой группы |
состояний, то |
совершенно все |
равно, |
как |
|||||
* Непрерывность случайной величины Т следует из того, что рассматри |
|||||||||
ваемый марковский случайный |
процесс является |
процессом с |
непрерывным |
||||||
временем и счетным числом состояний.
72
система X ведет себя за пределами этой группы и как она в нее
возвращается.
Таким образом, для отыскания плотности распределения вре
мени Т пребывания системы в группе состояний **, |
xj нужно |
|
проинтегрировать систему (2.6.1) |
без первого и последнего урав |
|
нений при начальных условиях |
(2.6.2) и найти |
вероятности |
Pi(t) и pj(t) * После этого по формуле (2.6.5) найдем плотность распределения времени Т.
Зная плотность распределения случайной величины Т, можно
найти ее числовые характеристики: математическое ожидание
СО |
|
ПО |
со |
|
М [ Т ] = 7 = f |
|
tPi{f)dt+\},,+1 J |
tpj(t)dt\ |
( 2 . 6 . 6 ) |
о |
б |
о |
|
|
второй начальный момент |
|
|
|
|
оо |
|
го |
оэ |
|
М[т2)=*2 = \ |
|
PpiWdt+Xjjf |
* , Jppj(f)dt; ( 2 . 6 . 7 ) |
|
о |
б |
о |
|
|
дисперсию |
|
|
|
|
D [T] |
- |
(Tf = M [Г2] - (М [Г])2. |
(2.6.8) |
|
Если требуется найти закон распределения времени Т пребы
вания системы в группе состояний «правее» Х{ (включая само
состояние Хг(/>0)), то граф состояний подсистемы X будет иметь вид, показанный на рис. 2.6.3. Интегрировать систему дифференциальных уравнений, соответствующих такому графу
состояний, нужно при начальных условиях /7/(0) = 1; /^ (0 )= 0 ( /^ /^ п , кф1). Плотность распределения случайной величины Т
найдем из выражения |
|
|
|
/ W = - ^ i - i ( 0 = b u - » ? / ( 0 . |
(2.6.9) |
||
|
ас |
|
|
При необходимости |
отыскать |
закон распределения |
времени |
Т пребывания системы |
в группе |
состояний левее xj |
(включая |
само состояние X j ( j < n ) ) |
нужно решать систему дифференциаль |
||
ных уравнений, соответствующую графу состояний, изображен ному на рис. 2.6.4.
Начальными условиями для решения этой системы уравнений будут /5; (0)= 1; Я (0 )= 0 ( 0 < /< У , кф1).
* Заметим, что этим способом можно отыскивать закон распределения времени пребывания в группе состоянии и в случае, когда интенсивности пото ков являются переменными.
73
Плотность распределения случайной величины Т в этом случае
найдем по формуле
f ( t ) = A-~p}¥l(t)='4 ,j+rPj(t). |
(2.6.10) |
a t
Таким образом, решая определенную систему уравнений, можно найти закон распределения времени нахождения в группе состояний. Однако зачастую нам не требуется находить закон распределения времени пребывания системы в группе состояний
♦/ v , „ ___
: - - d S E tp
Рис 2.6.3
х,-, ..., Xj, а требуется лишь найти математическое ожидание этого
времени. Мы ограничимся при этом лишь случаем, когда либо j = n, i ^ l ; либо i = 0, a j ^ n — 1 и интенсивности всех потоков со
бытий постоянные.
Рассмотрим граф состояний, изображенный на рис. 2.6.5. Будем искать среднее время пребывания системы в состояниях
Рис. 2.6.5 Рис. 2.6.6
xit .... x„(t>=l). Очевидно, закон распределения времени нахож дения системы в состояниях х,-, ..., хп не зависит от того, какой
конкретный вид имеет граф состояний системы «слева» от со стояния х^ Следовательно, для решения задачи можно рассмот
реть более простой граф состояний подсистемы, изображенный на рис. 2.6.6.
При постоянных значениях всех интенсивностей потоков со бытий для подсистемы, граф состояний которой изображен на рис. 2.6.6, существует стационарный режим. Обозначим через Ti, ..., п время пребывания в группе состояний х,-, .... хп, отсчиты
ваемое от момента попадания в состояние Xj до следующего очередного момента попадания в состояние х;_г, через Т¥-\ —
время однократного пребывания в состоянии Xt—г и через я,-, ..., «— вероятности нахождения системы, граф состояний которой изображен на рис. 2.6.6, в состояниях х», ..., х„.
74
При t— ^оо и постоянных |
интенсивностях |
потоков |
событий |
||||
можно найти вероятность я*, |
|
п> решая соответствующую си |
|||||
стему алгебраических уравнений. |
|
|
|||||
Система |
алгебраических |
уравнений, определяющих |
вероят |
||||
ность Яг, |
71= 1—Яг—1, имеет вид |
|
|
||||
|
1,/^/—1 |
^/,1—\Pi\ |
|
|
|
|
|
0 = |
1 i |
P |
j |
"f ^j+ijPj*i |
(* 'С У |
— 1); |
|
0 == |
^л,п—\рп |
^л—1,пРп—Ъ |
|
|
|
|
|
Эту систему нужно решать совместно с нормировочным условием
|
|
2 |
л - i . |
|
|
|
|
Вероятность |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T' i ........л |
~ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
;=1 |
|
|
|
|
|
ТС/-1= |
’ _ |
~i.....n = Pl-V |
|
|
||
С другой |
стороны, |
на |
основании |
эргодического |
свойства |
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
*,..... „ = |
- |
|
■ |
|
(2-6.11) |
|
|
|
|
h-\ + h .....и |
|
|
||
где |
— 1-------- среднее |
время |
нахождения |
системы |
|||
- |
1 - Г /.....„ |
В С О С Т О Я Н И И Xj, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
г/.....-------------------------------искомое среднее время нахождения |
|||||||
|
|
системы |
в группе |
состояний x i.....х„. |
|||
Аналогично находится среднее время г0, |
пребывания систе |
||||||
мы в состояниях х0, ..., Xi ( i ^ n — 1). |
|
|
|
||||
Заметим, что для нахождения |
с р е д н е г о времени пребы |
||||||
вания системы в группе состояний нам нужно решать не систему дифференциальных уравнений, а систему а л г е б р а и ч е с к и х уравнений, что значительно облегчает задачу.
Примеры решения задач с применением формул (2.6.11), (2.6.12) будут рассмотрены в следующих главах, где будут ана лизироваться конкретные системы массового обслуживания.
Во многих случаях можно приближенно считать, что закон распределения времени 7\-,.... п пребывания в группе состояний
75
Xi,...,xn (рис. 2.6.5) |
является (показательным. Здесь время |
|
Тit |
п отсчитывается |
от момента попадания системы в состоя |
ние Xi до следующего очередного момента перехода в состояние
*t-!. Возможность такого приближенного допущения основана
на том, что вероятность Pi(t), определяемая графом состояний,
изображенным на рис. 2.6.7, является монотонно убывающей функцией времени t. Это справедливо только в случае, если в начальный момент система находится в состоянии хс
Л ( 0 ) = 1 ; М 0 ) = 0 (* = ? М . |
(2.6.13) |
Расчеты показывают, что такое приближение |
вполне допусти |
мо с инженерной точки зрения. |
|
Обозначим приближенную плотность распределения времени пребывания в группе состояний х^ ..., хп через fi, ...|П(0- Тогда
приближенное выражение |
для этой плотности распределения |
|
будет иметь вид |
|
f i ..... я(0= Х в -м (/ > 0), |
|
(2.6.14) |
|
где |
Рис. 2.6.7 |
t |
Г,-,..., п — среднее время пребывания в группе состояний хи •••, хиу
определяемое по формуле (2.6.12).
Метод отыскания закона распределения времени пребывания в группе состояний, изложенный в этом параграфе, может быть применен и в случае, если граф состояний системы имеет произ вольный вид, отличный от того, который показан на рис. 2.6.1. Этот метод может быть применен и для отыскания законов рас пределения времен пересечения марковским процессом заданного уровня.
§2.7. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
2.7.1.Для системы, граф состояний которой изображен на рис. 2.6.1, найти закон распределения времени нахождения в крайнем «левом» состоянии х0, если в начальный момент система
находилась в этом состоянии. Р е ш е н и е
Для нахождения закона распределения воспользуемся гра фом состояний, изображенном на рис. 2.7.1а.
Дифференциальное уравнение будет иметь вид
- ^ = - W o ( 0 .
76