Его нужно решать при начальном условии р0(0) = 1:
? о (0 = « " 41' (* > 0 ).
Плотность распределения времени Т будет
/ ( 0 = ~ТГР1 (1) = }'ОлРо(() = 1оле~1ол> ( / > 0). at
Мы получили показательный закон распределения, что естест венно. Числовые характеристики этого закона будут равны
М [ Т ] = т ~ ,
л0,1
Я 1П = Т 7 -
>•5.1
Если требуется найти закон распределения времени пребыва ния в крайнем «правом» состоянии х1и то соответствующий граф
состояний будет иметь вид, показанный на рис. 2.7.16.
а ) |
б ) |
Рис. 2.7.1
Следовательно, и в этом случае закон распределения будет показательный, но с параметром 7,_i.
2.7.2. Решить пример 2.7.1 при условии, что параметр A,0>i за висит от времени
Хол(/) = а(1 —sin о)t).
Р е ш е н и е Дифференциальное уравнение имеет вид
|
dPo (t) |
— а( \ —sin ш/) pQ(i). |
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
Его нужно |
решать при |
начальном |
условии ро(0) = 1: |
|
|||
PoV)=e |
-«[/+S2JS± ± |
J (/> 0 ) . |
|
||||
= e |
L |
“ |
|
||||
Очевидно, |
при со = 0 и а = кo,i |
получим |
решение |
предыдущей |
|||
|
|
|
|
|
.-af< |
+ |
1, |
задачи. Таким образом, f(t) —a{ 1 — sin at) e~ai>.t+ |
LO |
J |
|||||
77
2.7.3. Граф состояний системы имеет вид, показанный на рис. 2.7.3а. Требуется определить закон распределения времени Т пребывания в состояниях х0у ..., хп- х при условии, что при t = О система находилась в состоянии х0.
Р е ш е н и е
Граф состояний подсистемы X для определения закона рас пределения времени Т будет иметь вид, показанный на рис.
Рис. 2.7.3а
2.7.36. Соответствующая этому графу состояний система уравне ний будет
■ ^ P ~ = - h p M
a t
dPk {t)- = —lkpk(t) -f |
{t) (0 < k < я). |
dt |
|
Начальные условия, при которых нужно интегрировать эти урав нения, имеют вид:
|
|
|
р 0(°)= 1 ; |
л ( ° ) = ° ( 0 < * < я ) . |
|
|
|
|
|
|
В соответствии с решением |
||
~ I и |
П-2 |
_ |
'■rt-f |
задачи 2.7.1 |
решение перво |
|
го уравнения |
можно записать |
|||||
I хо [-—•*» |
|
|
||||
|
|
так: |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 2.7.36 |
7>oV)= e_V - |
||||
Тогда |
для |
отыскания |
вероятности p\(t) получим уравнение |
|||
d t
Преобразование Лапласа для этого уравнения будет
(s) = |
’ |
где pi(s) — изображение функции p\(t).
78
Следовательно:
Pl(s) = |
Ks |
IQS |
|
(s + Xo) (s Xj) |
1 |
||
|
|||
|
|
П (5+ X/) |
|
|
|
1=0 |
Оригинал для изображения p\(s) будет иметь вид
Pl(t) = l0 е ~ е
h — х0
Для отыскания вероятности р2(0 получим уравнение
dp2(t)
dt ■J -ЧРч^) = \Р1 (0-
Преобразование Лапласа для этого уравнения будет равно
sp2 (s) -f l2p2 (s) = Xjpx (s) = —
П (s + X/)
/=0
откуда
p2(s)--
П(S + X|)
/=0
Соответствующий этому изображению оригинал будет иметь вид
р ( Л= ХХ (Х2 — Хг) в""*0* 4- (Х0 — Х2) g~Xl* + (Xi — К) е Xg*
(Х0 — Xj) (Xj — Х2) (Х2 — XQ)
Выражения для p\(t) и p2(t) можно переписать в следующем
виде:
л ( 0 = ( - 1 ) * п Ч |
е |
(А =1, 2). |
/=0 |
;=0 |
П (Ху — Хд) |
|
|
л=о |
То, что Л=^/, означает, что рассматривается произведение только различных параметров, т. е. при й= / нужно полагать Xj—Xh— 1. ^
Можно показать, что выражение для вероятности Ph(t) будет
л—1 |
|
е- м1 |
(Л= 1, 2 , ... , я - 1 ) . |
? * ( 0 = ( - 1 ) * П х- Х ' |
|
|
|
|
|
|
|
,=0 J = о |
Y I & J - W |
|
|
|
h- 0 |
h * J |
|
79
Тогда искомая плотность распределения случайной величи ны Т запишется так:
/w = |
dp,At) |
= ^ _ 1(0 = ( - l ) " - , n |
1Z7 |
e- X jJt |
dt |
|
|||
|
|
1=0 |
j=о П o^j —h) |
|
|
|
|
h=0 |
h * j |
Закон распределения, имеющий такую плотность, называется обобщенным законом Эрланга (п— 1)-го порядка (/2= 1, 2, ...).
Его числовые характеристики будут равны
п— \
M[ r ] = £
/=0
/7 — 1
/=0
При ко— 'к\ = |
= Яп-1 = ^ получим закон |
Эрланга |
(п— 1)-го по- |
рядка: |
|
|
|
|
J h ! H L e-u |
|
|
|
( п - l)t |
’ |
|
для которого |
|
|
|
|
М[Т]=-f , |
|
|
|
ЩТ}= |
|
|
2.7.4. |
Граф состояний системы имеет вид, |
показанный на |
|
рис. 2.7.4а. Сравнить между собой законы распределения двух случайных величин Т0 и Ти где
Рис. 2.7.4а |
|
|
Рис. 2.7.46 |
|
||
Т0— время нахождения |
в группе состояний |
х0 и Х \ , если |
в |
|||
начальный |
момент |
t=0 |
система |
была |
в состоянии xQ\ |
|
Т\ — время нахождения |
в группе состояний х0 и Х\, если |
в |
||||
начальный |
момент |
t=0 |
система |
была |
в состоянии |
хх. |
Р е ш е н и е |
|
|
_ |
|
|
|
Граф состояний подсистемы X для отыскания законов рас |
||||||
пределения времени |
Г0 и Ti представлен |
на рис. 2.7.46. |
|
|||
80