Функция распределения времени Т пребывания заявки в снеге*
ме определяется из выражения
F (t) = J / (/) dt = 1 (/) |
+(1 - |
. |
(4.1.31) |
---- СО |
|
|
|
Напомним, что в данном случае единичная функция (единич ный скачок) имеет следующее определение:
(О |
при |
t < |
0; |
!(/) = |
при |
t > |
0, |
(l |
Дельта-функция равна
3(0 — 57 ,( /) *
График функции распределения F(t) представлен на рис. 4,1.5.
Предлагаем читателю самостоятельно проверить справедли вость формулы (4.1.29), вы числив математическое о>кидание времени t по формуле
t = J tf(f)dt,
где f(t) определяется из вы
ражения (4.1.30).
В дальнейшем при фор мулировке условий задач будем для краткости число каналов /г, интенсивность потока за
явок X и интенсивность потока обслуживаний \х называть пара метрами системы и перечислять всегда в указанной последова тельности (п, Ху и).
О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы
Вероятность того, что занято ровно k каналов:
Р ^ |
P ( k y |
а ) |
к |
R ( n , |
а ) |
где а = Х/|х.
Среднее число занятых каналов
R («. *)
112
Вероятность обслуживания заявки (относительная пропуск ная способность системы)
п |
k |
Л° |
1 |
рп, |
А>бс — |
OL |
—— — 1 |
||
|
Л |
|
|
|
где до — плотность потока |
обслуженных заявок (абсолютная |
|||
пропускная способность системы). |
||||
Вероятность того, что канал |
(любой) |
занят: |
||
Вероятность того, что система полностью загружена:
~П.З= Рп=== 1 |
Робе ~ |
~' • |
||
|
|
|
|
а |
Среднее время занятости канала |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
/з.к - |
|
|
|
Среднее время простоя канала |
|
|
|
|
/ |
_4 |
1 |
Я3.К |
|
* |
11.К -- *з.к |
|
|
|
Среднее время полной загрузки системы |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
^З.С--"П'J. |
|
||
Среднее время неполной загрузки системы |
|
|||
“7 |
__Т |
1 |
JTn.3 |
|
«Н.з--*З.С----------- |
|
|
|
|
Среднее время простоя системы |
|
|
|
|
|
7 — L |
|
|
|
|
<П.С--- |
, |
|
|
|
|
Л |
|
|
Среднее время пребывания заявки в системе
т=±-
З а д а ч и и у п р а ж н е н и я
4.1.1.Рассматривается двухканальная система массового
обслуживания с отказами и параметрами (п = 2, А,, р). Найти за
кон распределения времени неполной загрузки системы в стаци онарном режиме.
113
Р е ш е н и е Граф состояний подсистемы для определения плотности
распределения f«.3(t)= |
имеет вид, показанный на рис. |
4.1.1а.
Выпишем систему дифференциальных уравнений для опреде ления плотности распределения /н.з ( 0 :
dp- ~^- --- — Хр0( 0 + O');
dp\(t)
—( * f i i)Pi 0)+x/?00);
dt
dp? (О = ^ |(0 = /н.з(0.
dt
Начальные условия для интегрирования системы следующие:
Й (0 )= 1 ; Я (0) = 0; л (0 ) = 0.
Дифференциальные уравнения будем решать с помощью преоб
разования Лапласа. Уравнения для |
изображений будут иметь |
||
вид: |
|
|
|
|
(s-fX)/?0(s) — |i/7,(s) = 0; |
||
|
(s + X-f JI.) p t (s) - |
Xpn(s) = s, |
|
гдe Pi(s) — изображение функции Pi(t) (i=0,1). |
|||
Решая эту систему уравнений, получим |
|||
|
/ ч |
s (s -4- X) |
|
|
Р\ (s)= --------------- ------- |
||
И Л И |
|
|
|
|
Pl(s)=•-• |
s~ -l- \s |
|
где |
(s + a)(s + b) |
||
|
|
|
|
|
|
|
4X{JL + |x2 |
Изображению pt(s) |
соответствует оригинал p\(t)\ |
||
PI |
a — b |
|
b — a e~ bt■ |
График плотности распределения времени неполной загрузки
системы f„,3{t)^=Xpl (t) |
для случая р = Д -; Х = 1 показан на |
рис. 4.1.16 сплошной |
линией. |
114
Математическое ожидание времени неполной загрузки систе мы для этого случая будет
М [Гн.з] = /„.3 = ^ //„.3 (t ) d t = \ t |
1 |
2 + — е~2' |
dt |
.3 |
|
— е |
2 |
||||
о |
О |
з |
1 з |
|
|
|
|
|
|
||
На рис. 4.1.16 пунктиром показана плотность распределения
/мл (0 |
случайной величины, |
распределенной |
то |
показательному |
||||||||
закону с математическим ожиданием, равным 3/2- |
|
|
|
|||||||||
Читателю |
предоставляется самостоятельно |
убедиться в том, |
||||||||||
что величина /н.з. определяемая |
по |
формуле |
(4.1.26) |
для |
п —2, |
|||||||
ji= — |
и А,= 1, получается тоже |
равной 1,5. |
Отметим, |
что |
если |
|||||||
требуется найти только среднее время неполной загрузки систе |
||||||||||||
мы, то лучше пользоваться формулой |
(4.1.26). |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
КО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч ч \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.50 |
4V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0.25 |
|
|
X |
; |
'—,_ |
|
|
|
|
|
|
|
О |
as |
ко |
К5 |
2,0 |
2.5 |
3.0 |
t |
||
|
Рис. 4.1.1а |
|
|
|
|
Рис. 4.1.16 |
|
|
|
|||
4.1.2. |
Рассматривается работа |
районной |
автоматической те |
|||||||||
лефонной станции (АТС), которая |
обеспечивает не более 120 |
|||||||||||
переговоров |
одновременно. |
Средняя |
длительность |
переговоров |
||||||||
— = 1 |
мин. |
Вызовы на станцию |
поступают |
в среднем |
через |
|||||||
и. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 сек. т. е. ~Y =0,5 сек. Требуется найти характеристики рабо
ты АТС. Робе1 ^З.К, ^З.К1 ^11.К» ^П.З) ^п.з?
Р е ш е н и е АТС представляет собой 120-канальную систему массового
обслуживания с отказами. Параметры системы следующие:
п =120; Х =2 Г—-—1 ;
115
Среднее число занятых каналов будет равно [см. (4.1.15)]:
» = « д » , - . |
*> - 1 го |
Л (я, a) |
R (120, 120) |
Воспользуемся приближенной формулой |
(1.5.32): |
|
|
'119 4 - 0 , 5 - 120> |
|
|
Ф* |
|
к = 120 |
V 120 |
112. |
|
||
120 + 0 ,5 — 120
Ф*
1/Т20
Вероятность обслуживания
Ро6с = — = - 7 ^ - ~ ° > 931-
CL |
l z U |
Вероятность того, что канал занят, будет равна
~з.к== ~~ |
0,931. |
Среднее время занятости канала
/З.к = — = 1 мин = 60 сек.
и.
Среднее время простоя канала
1‘п.к=/3.1< ‘ ~ Яп-к ss4 ,5 сек.
л п.к
Среднее время пребывания заявки в системе (с учетом того, что разговор может и не состояться)
г |
И2 |
сек. |
t= — = — = 5 6 |
||
I |
2 |
|
Вероятность полной загрузки системы
*п.3 = 1-Яобс = 0,069.
Среднее время полной загрузки системы
А|.з= —^-=0,5 сек.
Среднее время неполной загрузки системы
/ в.з = /„.з — -Яп— = 13,5 сек.
Л'П.З
116
4.1.3.Рассматриваются две системы массового обслуживания
сотказами, на которые подается одинаковый поток заявок с
интенсивностью К:
1) /г-канальная с производительностью каждого канала р.
2) одноканальная с производительностью канала пц.
Таким образом, общая потенциальная производительность обеих систем одинаковая. Определить, для какой системы веро ятность обслуживания заявки будет больше.
Р е ш е н и е Для первой системы
г>(1)_/?(/г — 1, з) 'обе — — ;
где
а= 1_
(JL
Для второй системы
Покажем, что для любых л>0; р > 0 и п> 1 вероятность
Робе >Р(Н)с , т. е. что всегда выгоднее «дробить» каналы на ряд
менее производительных, но так, чтобы общая производитель ность всех каналов оставалась неизменной.
Имеем
|
|
л—1 |
|
|
У1) |
*=0 k\ |
|
|
|
k\ |
|
|
|
к = О |
|
А'бс = |
|
Я |
п -Ь г |
|
|
||
|
1 + — |
|
|
|
|
п |
|
|
>0) |
> Р(овс . достаточно доказать, что |
|
Чтобы доказать, что Я(',бс |
|||
я—1 |
|
|
|
у |
*! |
|
|
& |
|
|
|
п |
|
+ |
1 |
V — |
--- |
||
|
П |
||
к =0 |
k\ |
|
|
Преобразуем неравенство |
|
|
|
|
к—I |
л - 2 |
к |
Пп „п |
„к |
к=ОО |
Л=0 |
|
Л=0 |
|
или |
|
|
п |
|
/I |
л — 2 |
|
|
|
у |
I <* у , |
|
а* |
|
2 - а?! |
л |
k\ |
k\ |
’ |
*= 0 |
Л= 0 |
Л=0 |
|
|
откуда
л — 2
—V — > 0 ,
пк=О к\
что имеет место для любого а > 0 и любого п> 1.
Найдем приращение А вероятности обслуживания заявки за счет «дробления» общей производительности между п каналами:
|
a |
R ( П — |
2 , а ) |
|
|
Д = Р , (, 6 с - Я <о26)с |
П R (/?, |
|
|
|
|
|
а -}- |
а ) |
|
|
|
Так, при аг=Ю |
и л — 10 имеем |
|
|
|
|
|
5 1 ^ ^ |
= 0,286, |
|
|
|
|
1—0,417 |
|
|
|
|
|
^ ^ т т т ^ 0,5, |
|
|
|
|
|
Яоос = 0,5 + А = 0,786. |
|
|
|
|
Следовательно, |
вероятность обслуживания |
при |
дроблении |
на |
|
10 каналов увеличивается почти на 60%. |
|
|
|
||
Однако дробление общей производительности |
не всегда |
мо |
|||
жет быть выгодно, так как в этом случае увеличивается время пребывания заявки в системе. Действительно, для первой систе мы (п каналов с производительностью каждого канала ц) сред
нее время пребывания заявки в системе равно
Т |
*41) |
1 |
R (п — 1, а) |
id) — ------= -------------------- . |
|||
|
>• |
JJ. |
R ( n t а ) |
Для второй системы (один канал с производительностью пр)
среднее время пребывания заявки в системе равно
118