Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Покажем, что для любых л]>0, ц > 0 и //>*1

откуда

или

(4.1.32)

Выше уже была доказана справедливость неравенства

Робе >Робс. Следовательно, и неравенство (4.1.32) тем более

будет иметь место. Таким образом, при дроблении общей произ­ водительности увеличивается вероятность обслуживания, но вместе с ней увеличивается также и среднее время пребывания заявки в системе в основном за счет уменьшения потерь заявок.

Ci, создание одного канала обслуживания требует среднего рас­ хода С2, эксплуатация одного канала в единицу времени требу­ ет среднего расхода С3.

Определить, при каких соотношениях стоимостей Сь С2 и С3 система будет рентабельна и через какое время t она начнет при­

носить прибыль.

Р е ш е н и е Будем решать задачу в предположении, что система находит­

ся в стационарном режиме. Тогда за время t эксплуатации

системы она принесет среднюю прибыль.

W ,

ность системы. За это время будет израсходована в среднем стои­ мость

С2п С3я/.

Прибыль такая система начнет приносить через время t, оп­

ределяемое условием

СjX0tf —С411-(- C3nt,

119

откуда

t

СгК — Qin

Условие рентабельности системы очевидно, следующее:

Сi/»o С$/1 О

или

С Л ^ С$п.

Преобразуем это выражение (с учетом того, что = ХR ( n — 1, а).

Таким образом, для фиксированных значений л, |х, Сь С3 существует область значений числа каналов п, в которой система рентабельна. Максимальное число каналов птлк определяется из

условия

Область рентабельных значений числа канала п определяется из

выражения

стей Ci и С3 вообще может не существовать. Так, например, при

-£ - = 1, >• = !*=! О;)

не существует такого целого положительного числа п, для кото­

рого выполняется условие

так как минимальное значение правой части будет иметь место при п = 1; это минимальное значение равно 2:

120

монотонно уменьшается, имея свой предел, равный единице, а выражение

п-----:----'— R ( n - 1, 1)

монотонно возрастает, оставаясь все время больше 2. Следовательно, при проектировании систем массового обслу­

живания можно подсчитать, будет ли такая система рентабельна и через какое время t она начнет приносить прибыль. Прибыль С, принесенная такой системой к моменту t\> t (при условии, что

система рентабельна), определяется из выражения

мости вероятности обслуживания Р0пс от числа каналов п{ и я2.

На рис. 4.1.5а приведены такие графики. Вероятность Р0с,с оп­ ределена только при целых положительных значениях аргумен­ тов П\ и я2. Однако для удобства построения на рисунке изо­

бражены непрерывные кривые. По таким графикам легко опре­

что при одинаковом числе каналов я и интенсивности потока за­

4.1.6. Найти основные характеристики системы массового обслуживания с отказами при неограниченном числе каналов (п = оо).

121

Р е ш е н и е

При п = оо вероятность того, что будет занято ровно k кана­

лов, найдем из выражения

т.e. эти вероятности будут распределены по закону Пуассона. Среднее число занятых каналов /е будет равно

k = \\m a R (п — 1, а) а.

п—^ Я (л, а)

Вероятность обслуживания будет равна единице:

Робе = 1 •

Вероятность того, что канал занят, равна нулю:

“ з.к = 11т — = 0.

II

Среднее время пребывания заявки в системе равно

а само время Т пребывания заявки в системе распределено по

показательному закону с параметром ц.

§4.2. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

ИНЕДОСТОВЕРНЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ

ваний каждого канала ц. Если вновь прибывшая заявка застала все п каналов занятыми, то эта заявка получает отказ и покида­

ет систему необслуженной. Если вновь поступившая заявка за­ стала свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию и обслуживается до конца (заявки «терпеливые»). Однако заявка, прошедшая обслуживание в канале, оказывается фактически обслуженной не достоверно, а с вероятностью р.

Такая система отличается от классической системы массового обслуживания с отказами, рассмотренной в § 4.1, только тем, что заявка, побывавшая на обслуживании в канале, выходит из нее обслуженной лишь с вероятностью р. Это схематически показано

на рис. 4.2.1 (на рисунке изображена схема, а не состояния). Такую систему можно представить условно как двухступенча­ тую систему массового обслуживания: в первой ступени заявка

122

принимается к обслуживанию (или не принимается); во вто­ рой— обслуживается (или не обслуживается). При этом полное обслуживание обеспечивается лишь в том случае, если заявка пройдет оба этапа обслуживания. Первая ступень обслуживания работает так же, как классическая СМО с отказами, рассмотрен­ ная в § 4.1. На вторую ступень обслуживания поступают лишь те заявки, которые были обслужены первой ступенью. Обслу­

(я.л.ц)

Поток необслуженных заявок

Рис. 4.2.1

Граф состояний такой системы остается таким же, как и в случае классической системы массового обслуживания с отказа­ ми (см. рис. 4.1.1.). Следовательно, вероятности состояний опре­ деляются по тем же формулам, что приведены в § 4.1. Все вре­ менные характеристики работы системы остаются такими же, как и для СМО с отказами. Отличие состоит лишь в том, что вероят­ ность обслуживания будет определяться как произведение веро­ ятности того, что заявка будет принята к обслуживанию (1—ри)у на вероятность «успешного» обслуживания р\

Я „ 6 с = - у - /> = 0 — P n ) P = - Y

123