Вероятность того, что взятый наугад канал занят:
Вероятность того, что система полностью загружена:
_ . |
_ |
1 |
Робе |
кн 3 |
Рп |
|
* |
Среднее время занятости канала
Среднее время простоя канала
t — t |
1 |
_ |
'll.к — 'з.К |
|
Среднее время полной загрузки системы
1
*з .с = - Л{х
Среднее время неполной загрузки системы
~1 |
_~7 1 |
^ггл |
'п-З |
41-3 |
_ |
Среднее время пребывания заявки в системе
7 = —
А
За д а ч и и у п р а ж н е н и я
4.2.1.Рассматривается круглосуточная работа пункта прове дения профилактического осмотра автомашин. Этот пункт состо ит из четырех каналов (четырех групп проведения осмотра). На
осмотр каждой машины затрачивается в среднем 1/|х = 0,5 |
часа. |
|||
При |
осмотре группа выявляет дефекты с вероятностью р = 0,8. |
|||
На |
осмотр |
поступает в среднем 192 |
машины в сутки: |
1 = |
== 1^2 суткп |
Машина считается |
«обслуженной», |
если |
|
в ней выявлен дефект. Если машина, прибывшая на пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт несбслуженной и вновь эксплуатируется.
Определить характеристики работы пункта профилактическо го осмотра.
124
Р е ш е н н е.
Работу пункта проведения профилактического осмотра мож но рассматривать как работу СМО с отказами и недостоверным обслуживанием с параметрами
/|. = 4;
час
/> -0,8;
А л
а— — = 4.
I*
Характеристики работы системы следующие: среднее число занятых каналов
6 = |
= 4 ff(3’.l t =2,76; |
R(n, a) |
R(4, 4) |
вероятность выявления скрытого дефекта
Яозс=(1 ~ р„) P= R (" ~ Ь — Р=0.55-
а (Л, а )
Абсолютная пропускная способность пункта
) —лРобсг— 4,40------
час
Полная абсолютная пропускная способность, считая все осмот ренные машины:
1 = — = 5,50 —
рчас
Вероятность того, что канал занят:
*э.к= — = 0,69.
П
Среднее время простоя канала
7п.к=7,к 1~ Я' ~ = 0,234 часа.
ЛЗ.К
Вероятность того, что все группы будут заняты осмотром:
/>„= 0,312.
125
Среднее время неполной занятости системы (простоя хотя бы одной группы)
7н.з=-- — |
= 0,275 часа. |
|
Л-п.з |
4.2.2. Производится дозаправка самолетов горючим в возду хе. В районе дозаправки находятся 3 самолета-заправщика. Са. молет, нуждающийся в дозаправке, выходит в район, где доку рят заправщики, с вероятностью р= 0,9. Если самолет вышед'в
район дозаправки и свободен хотя бы один из заправщиков, то он производит дозаправку, на цТ(> уходит в среднем 10 мин. Если
самолет выходит в район доза правки, но все самолеты-за правщики заняты, то этот са молет остается недозаправленным. Во всех случаях, когда самолет недозаправлен, он вы нужден садиться на запасной аэродром. Определить вероят* ность того, что самолет будет
вынужден садиться на запасной аэродром, если самолеты подхо дят к району дозаправки со средним интервалом в 150 сек.
Р е ш е н и е Эта система несколько отличается от той, которая рассмат
ривается в данном параграфе. Схематически работу такой систе мы можно представить в виде двух этапов обслуживания: па первом этапе производится мгновенный отбор на обслуживание (с вероятностью р заявка мгновенно направляется на обслужи
вание), на втором этапе отобранные заявки подвергаются обслу
живанию. |
Схема |
такого обслуживания представлена на |
|
рис. 4.2.2а |
(на рисунке изображена схема, а не |
состояния). |
|
Таким |
образом, |
такая система представляет |
систему массо |
вого обслуживания с отказами, на вход которой поступает про стейший поток заявок с параметром Кр.
Следовательно, вероятность обслуживания для рассматривае мой системы будет определяться по формуле
R(n — 1, ар) Р обе —г R(n, ар)
Все остальные характеристики системы будут такими же, как и у системы массового обслуживания с отказами, параметры
К О Т О Р О Й П \ Хр\ (X. |
|
|
|
|
Таким образом, система дозаправки самолета |
в воздухе мо |
|||
жет рассматриваться как СМО с отказами с параметрами |
||||
я = 3; Х - М |
[ - Ц |
; |
600 [ сек |
J |
150 |
[ сек |
J |
||
126
Следовательно, вероятность Р незаправкн самолета будет
Р = 1 — Р о ь ^ 1 ~ “ (П Л'*Р1= 1 _ |
PCI 3, (S) —0,411. |
К(П, гр) |
R (3, 3, G) |
§4.3. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ
ИПОЛНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ
П о с т а н о в к а з а д а чи . На |
вход /г-канальной системы |
массового обслуживания поступает |
простейший поток заявок с |
интенсивностью л. Интенсивность простейшего потока обслужпваний каждого канала р. Если заявка застает все каналы сво бодными, то она принимается на обслуживание и обслуживается всеми п каналами одновременно. Предполагается, что такое об
служивание возможно и производительность обслуживания при этом увеличивается в п раз (т. е. интенсивность суммарного по
тока обслуживаний равна /гр). После окончания обслуживания все /г каналов освобождаются одновременно *
| Если вновь прибывшая заявка застает в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание. В этом случае часть кана лов продолжает обслуживать первую заявку, а остальные кана лы приступают к обслуживанию вновь прибывшей заявки. Рас пределение каналов по заявкам может производиться любым образом. В дальнейшем мы увидим, что для пуассоновской си стемы характеристики обслуживания не зависят от того, как мы делим общее число каналов; важно, чтобы в се каналы участво вали в обслуживании. Если прибывшая новая заявка застает в системе две обслуживаемые заявки и м > 2, то каналы распреде ляются по всем трем заявкам, и т. д.
Если вновь прибывшая заявка застает в системе |
к заявок |
(й=1, 2, ..., п— 1), то она принимается к обслуживанию |
и все п |
каналов перераспределяются произвольным образом |
между |
k+ 1-заявками, но так, чтобы все каналы участвовали в обслу
живании. |
в системе |
п заявок, |
Если вновь прибывшая заявка застает |
||
то она получает отказ и не обслуживается. |
Попавшая на обслу |
|
живание заявка обслуживается до конца |
(заявки |
«терпели |
вые»). Каждая заявка, принятая к обслуживанию, обслуживает ся достоверно.
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освобо дившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию ос тальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при на личии в системе хотя бы одной заявки все п каналов все время
будут заняты.
Требуется найти характеристики работы такой системы мас сового обслуживания.
* Другими словами, имеется точная информация о результатах обслужи вания.
127
Будем нумеровать состояния системы по числу заявок, нахо дящихся в системе:
хо — в системе нет заявок (все каналы свободны);
Хц — в системе имеется k заявок, они обслуживаются п канала
ми, общая производительность обслуживания равна нр, каналы распределяются произвольно между заявками.
Граф состояний такой системы показан |
на рис. 4.3.1. |
При |
|||
наличии хотя бы одной заявки в системе интенсивность |
потока |
||||
|
|
обслуживаний будет равна mu |
|||
га г...гЩ г-г0 |
как бы не распределялись ка |
||||
налы по заявкам. |
|
|
|||
Глядя на этот граф |
состоя |
||||
1----- ГЩ1 л у ----- л/i |
яр |
ний, можно |
составить |
систему |
|
Рис. 4.3.1 |
|
дифференциальных уравнений, |
|||
|
которая справедлива и для пе |
||||
|
|
||||
|
|
ременных |
параметров |
д, |
р. |
(Читателю предлагается самостоятельно написать такую си-
стему).
Рассмотрим стационарный режим работы системы (h —const,
p=const, t— »-oo), который существует, так как система |
облада |
ет эргодическим свойством (см. § 2.4). В этом случае |
работа |
СМО будет описываться системой алгебраических уравнений:
0 = — |
nV-Pi> |
|
|
|
|
0 = |
— + |
+ /^ *+ 1 |
(k— \, |
2,. |
л — 1); |
0 = |
— nppn-\->.p„-i. |
|
|
|
|
Для решения этой системы введем обозначение |
|
||||
|
|
U i ^ —lpi-i —nppi |
( /= 1, |
2,. |
л). |
С учетом |
(4.3.2) уравнения (4.3.1) примут вид: |
|
|||
|
|
«1 = 0; |
|
|
|
|
|
и*+1 —« * = 0 (k=\, 2, . . |
л); |
|
|
к„=0,
откуда
и( = 0 (г= 1,2,..., л).
Следовательно:
Pk-- |
_х_ |
\ Ро (А = 0, 1 ,..., я). |
|
|
П \1 |
(4.3.1)
(4.3.2)
(4.3.3)
(4.3.4)
(4.3.5)
128
Введем обозначение
X а ^
(4.3.6)'
ЛЦ П
Величина х равна среднему числу заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки всеми п
каналами.
С учетом принятого обозначения получим
Pk=-'-kPo- |
(4.3.7) |
Вероятность р0 найдем из нормировочного условия
пп
У . P k ~ ^ *V 0— Р оХ %к — Ръ ]
к=0 |
к=0 |
*=0 |
|
откуда |
|
|
|
|
Ро: |
1—7. |
(4.3.8) |
|
Л+1 |
||
|
|
1— у.1 |
|
Следовательно: |
|
|
|
|
1- X |
|
(4.3.9) |
pk —*k--------- - (А = 0, 1, 2 ,..., п; х^=1). |
|||
1—х"+1
Это выражение справедливо для любых значений к ф 1. При х = t
имеет место неопределенность, раскрывая которую, получим
pk = — 1— (* = 0, 1, 2 ,..., п; * = 1 ), |
(4.3 Л.0) |
п -г 1 |
|
т. е. все состояния будут равновероятны.
Вероятность обслуживания заявки определяется из выра
жения |
1- ХЛ |
|
|
|
при |
X=£ 1, |
|
|
1— хл+1 |
||
Р обе = 1 — Рц — |
|
(4.3.11) |
|
п |
|
||
|
при |
х = 1 . |
|
|
Я+ Г |
||
|
|
|
Найдем среднее число заявок I, находящихся в системе:
п
/=Хkf>k |
1—х |
У А ** . |
(4 |
.3 |
. 12)1 |
1— хл + 1 |
|||||
|
|
|
|||
к=0 |
|
ft = 0 |
|
|
|
129