г д е
ГЦ1
Среднее число заявок, находящихся в системе, найдем из вы ражения
' |
1— ъп +т [(п + т){\ — х ) + 1] |
(* ф 1); |
|
п + т |
( 1 _ . Ал+ т + 1 ^ ( 1 _ х) |
||
7 = j l P i = |
(5.2.2) |
||
п + т |
|||
1=О |
|
||
(* = !)• |
|
Вероятность обслуживания заявки равна вероятности того, что заявка, поступившая на обслуживание, застанет свободным хотя бы одно место в очереди:
|
|
л+т |
|
|
п + т —1 |
1 - * ; |
при х Ф 1; |
|
I _уП+т+1 |
||
|
|
|
|
Р о б е — |
|
P i — 1 Рп +т— |
(5.2.3) |
|
1= 0 |
п + т |
при х = 1. |
|
п + т + 1 |
||
|
|
|
Для нахождения среднего числа занятых каналов восполь зуемся равенством
Яо6С = ^к , |
|
|
||
откуда |
1—У.п + т |
|
|
|
|
при |
хф 1; |
||
1 |
- |
|||
__у и + т + |
|
(5.2.4) |
||
k — <хРобе— |
п + т |
|
||
П |
при |
X= 1, |
||
|
||||
п + т -f 1
где
а— *X
Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой
пп + т
®==5]/Л+я S Рг =
|
|
1=0 |
|
1=п +1 |
|
|
1— хл [л(1 — ■/,)+ 1] |
j(x=£ 1); |
|||
I __ х п + т + 1 |
|
1—X |
|
+ п [хл — |
|
|
|
|
(5.2.5) |
||
»(«+•!) |
|
— |
1 |
^ = 1). |
|
-пт |
|
||||
|
|
|
|||
|
J |
п + т + |
1 |
|
|
194
Вероятность того, что канал занят:
| |
к |
|
7 (* ф 1); |
|
|
||
,К |
п |
п 4- т |
(*= !)• |
|
|
п -f т + 1 |
|
|
|
|
Вероятность того, что система полностью загружена:
|
|
1—V. |
|
|
т |
|
Р п + Г = Y J |
|
=а |
Е *г “ |
|
" n . 3 = y . |
* " + ' ------- --- |
|
|||
М |
М |
л+т +1 |
|||
1 — х‘ |
|
|
г = 0 |
||
г=Г, |
г=О |
|
|
|
|
= Рп |
1— *m+1 |
1_+1 |
|
|
|
1 — у. |
л. 1 |
+ l |
|
|
|
|
1 — |
|
|
||
При х = 1 получим
Ш4- 1
п + т + 1
(5.2.6)
(5.2.7)
(5.2.8)
Время простоя канала Гп.к распределено по показательному
закону с параметром Л, так как граф состоя |
|
|
ний для определения закона распределения |
П* 1 |
* ^ |
времени Тп. к имеет вид, показанный на рис. |
L 0 1 |
* |
5.2.2. |
|
|
Среднее время простоя канала равно |
Рис. 5.2.2 |
|
^П.К-- ‘ |
|
(5.2.9) |
На основании эргодического свойства среднее время занято
сти канала найдем из выражения |
|
^З.К -- ^п.к |
(5.2.10) |
1 Я3.к |
Закон распределения времени занятости канала определяется с помощью графа состояний, показанного на рис. 5.2.3. Систему
I *° ЬЧXf 1-С’■dp** |
Л |
* |
|
|
лу. |
• • • |
Z. |
j-**+*l |
|
Лу Пу. Лу |
лу. ,пу. яр |
Яр. |
п\1 |
|
|
|
Рис. 5.2.3 |
|
|
дифференциальных уравнений, соответствующую этому графу состояний, нужно интегрировать при начальных условиях
Л(0) = 1; Л(0) = 0 (I ф 1). |
(5.2.11) |
Закон распределения времени неполной загрузки системы / н.з определяется с помощью графа состояний, изображенного на рис. 4.3.5, так как этот закон для СМО с ожиданием и полной взаимопомощью будет таким же, как и для СМО с отказами и полной взаимопомощью, рассмотренной в § 4.3. Следовательно, среднее время неполной загрузки системы будет определятся [см. (4.3.23), (4.3.22), (4.3.21) и (4.3.39)] по формуле
1 —х
|
1 — хЛ |
1 — Xй |
|
t |
1 — х',+1 |
(5.2.12) |
|
1 —х |
(1 — ос) (**!)■ |
||
При х = 1 получим |
1— хя+1 |
|
|
- __ 1 |
|
|
|
|
|
(5.2.1?.) |
|
|
tН.З --- |
|
|
Среднее время |
полной загрузки |
системы можно |
найти на |
основании эргодического свойства: |
|
|
|
|
Яп.з |
(5.2.14) |
|
|
= tН.З |
л п.з |
|
|
1 |
|
|
где Яц.з — вероятность полной загрузки системы определяется по
формуле |
(5.2.7) |
при к ф 1 |
или по формуле |
(5.2.8) при х = 1 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Закон |
распреде |
||
( О |
- |
— |
|
|
|
ления времени |
пол |
||
|
|
|
ной |
загрузки |
систе |
||||
’--------Т |
е |
------- 1 |
« V- |
п * |
п* |
мы |
можно найти с |
||
|
|
|
Рис. 5.2.4 |
|
|
помощью |
графа со |
||
|
|
|
|
|
стояний, |
изображен |
|||
ного на рис. 5.2.4. Соответствующую этому графу состояний систему дифферен
циальных уравнений нужно интегрировать при начальных усло виях
/7„(0)=1; pk(0)-----0 |
( k ^ n ) . |
(5.2.15) |
Рассмотрим основные параметры |
очереди |
в такой системе |
массового обслуживания. Найдем среднее число заявок г, нахо
дящихся в очереди:
тт
~г==^гря+г= ^ х « х ' |
1—X |
|
Г = |
||
г=1 |
Г=0 |
у(п + т + 1 |
|
||
= Рп^ГУ.г= РпУ. 1 — %п 1т(\ — х) + 1) (**1), 15.2.16)
г=0
196
г д е |
|
Р п = ' ] — .j^n+m+l |
(5.2.17) |
вероятность того, что в системе будет ровно п заявок, но очереди
не будет.
При х= 1 получим выражение, аналогичное |
выражению |
(5.1.16): |
|
т(m + 1) |
(5.2.181 |
Г = Рп |
где
Рп |
1 |
|
п + т + 1 |
||
|
Заметим, что при любых значениях х должно выполняться ра венство
7 = 7 + 7 ,
Т. о. среднее число заявок в системе равно сумме среднего числа
обслуживаемых заявок и среднего числа заявок, ожидающих в очереди.
При наличии очереди рассматриваемая система работает таким же образом, как и система, исследованная в предыдущем параграфе. Поэтому среднее время пребывания заявки в’очереди
будет равно |
__ |
|
7,, = |
+ |
(5.2.19)* |
где величина г определяется в зависимости от значения х либо из выражения (5.2.16), либо из выражения (5.2.18).
Закон распределения времени нахождения в очереди найдем таким же образом, как это мы делали в предыдущем параграфе:
т — 1 |
|
т —1 |
г |
|
р {То, > 0 = j |
Рп rP (Т |
> / 1х и г) = £ |
хгр„ j + + |
е - ^ =-. |
г —0 |
|
г - 0 |
к - 0 |
|
= |
R ( tn - \, |
>J)-Y.mR ( m - 1, rap/)](*¥= 1), |
(5.2.20) |
|
где рп определяется из выражения (5.2.17). При х= 1 получим
Р(Точ>*)т=Р„['пР(’п — 1. n\>.t)—nptR{m —2, яр./)], (5.2.21)
где
*Вывод этой формулы был дан в § 3.2.
197
Вероятность того, что время нахождения в очереди будет рав но нулю, равно вероятности того, что поступившая заявка будет либо немедленно принята на обслуживание, либо застанет все
места в очереди занятыми: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
л—1 |
|
|
m—1 |
|
|
|
Р (^оч = 0) = |
У^ P k - \ - P n + m = |
1 — |
Рп+Г= |
|
|
|||
|
|
й=0 |
|
|
г= 0 |
|
|
|
т—1 |
|
|
|
|
/л—1 |
|
||
— 1 __уП + г ________ t___ t __ — 1 — |
------ ----------- |
V |
у/ — |
|||||
^ |
j |
^л+m+l |
|
j |
уп +т + 1 |
^ |
|
|
г - О |
1- |
|
|
г - О |
|
|
||
|
|
* / / 7 7 |
г |
|
|
|
(5.2.22) |
|
|
= 1 - « п 1 — л+т-1 |
( * * !) • |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
При к = 1 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я (ГОЧ= 0 )= 1 - |
т |
|
п + 1 |
|
|
(5.2.23) |
||
m + 1 |
|
л + /и + |
] |
|
||||
|
|
я + |
|
|
|
|||
Функцию распределения времени Точ найдем из выражения |
||||||||
^оч(7) = |
Я(7’оч < /)= 1 - P { T 04> t ) - P ( r 04 = t). |
(5.2.24) |
||||||
В этом выражении для любых моментов времени |
0 вероят |
|||||||
ность P(T04 = t) =0. График функции |
распределения |
имеет вид„ |
||||||
показанный на рис. 5.1.7. |
|
|
|
|
|
|
||
Плотность |
распределения времени нахождения |
в |
очереди |
|||||
определяется выражением, аналогичным выражению (5.1.37): |
||||||||
р |
|
R (m — 1, |
Х/) + |
|
|
|
|
|
/о ,(0 = |
+ 8 (^) (1 —//л • ~ ~ ) ( х Ф 1); |
|
|
(5.2.25) |
||||
pn\R(m — 1, |
W) + 8 (0 (l —pnm )(x= \, X= |
«li). |
|
|||||
Если число мест в очереди ничем не ограничено (т = о о ), то стационарный режим существует только при к<1. Об этом под робно говорилось в предыдущем параграфе. В этом случае веро ятность того, что в системе будет ровно I заявок (/^ 0 ), опре
деляется из выражения
Pi = %l{1—*)> |
(5.2.26) |
которое представляет собой известное распределение Паскаля. Вероятность обслуживания при т = оо равна единице
(Л)бс = 1); среднее число занятых каналов будет равно
k = -^S £ s.= — =a. |
(5.2.27) |
|
I1 |
> |
|
198