Поэтому |
|
lim *P.”+'W = 0. |
(5.1.42) |
О д н а к о в э т о м с л у ч а е у р а в н е н и я |
( 5 . 1 . 2 ) и ( 5 . 1 . 3 ) у ж |
н е с п р а в е д л и в ы . |
|
Рассмотрим встречающийся на практике частный случай, когда имеется всего один обслуживающий канал и т мест в очереди. В этом случае величина к [см. (5.1.4) и (5.1.5)] будет равна величине а и вероятность того, что в системе будет k зая
вок (одна заявка обслуживается, а остальные ожидают в очере ди), будет равна
^ = - Г ^ а! |
+ |
(5.1.43) |
1 — а"* т 1 |
|
|
Э т о |
в ы р а |
ж е н и е |
п о л у ч а е т с я , |
е с л и в |
в |
ы (5р .а1ж.2)е нии (5я х.1.3) |
||
п о л о ж и т ь |
п = 1 |
и х = а . |
|
|
|
|
||
Вероятность обслуживания определяется из выражения |
||||||||
|
|
|
Л>бс= 1 —/ W |
i = |
|
|
(5.1.44) |
|
Среднее число занятых каналов (или вероятность того, что |
||||||||
единственный канал будет занят) |
равно |
|
|
|||||
|
|
k |
З.к |
обе |
|
l — gM-i-l |
|
(5.1.45) |
|
|
|
1 — <хт +2 |
|
||||
|
|
V- |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Среднее число заявок, находящихся в очереди, будет |
||||||||
|
т |
|
т + 1 |
|
т -И |
|
rn + 1 |
|
|
|
|
*= 1 |
|
|
f - > |
^ |
Р к = |
|
|
|
|
*= 1 |
|
Л=1 |
||
= |
l - > |
~2 {[("* + 1)а” +а4-"-(-1~ ^ " ■->] - » ( ! - » « + « ) } (5.1.46) |
||||||
С р е д н е е |
в р е м я |
о ж и д а н и я |
в о ч е р е д и |
|
р а в н о |
|||
|
|
|
|
t04 |
Г |
|
|
(5.1.47) |
|
|
|
|
7 |
|
|||
При неограниченном числе мест в очереди (ш = со) стацио нарный режим существует только при условии а< 1 . В этом случае получим следующее выражение для вероятности наличия k заявок в системе:
/7й = а * ( 1 — а ) |
( * = 0 , 1 , 2 , . . . ) . |
Такое распределение вероятностей называется распределени ем Паскаля. Оно уже встречалось у нас в гл. 1.
1 8 5
Вероятность обслуживания в этом случае будет равна едини це, вероятность того, что канал занят, будет [см. (5.1.45)]:
^зк = А = а. |
(5.1.48) |
Среднее число мест в очереди найдем по формуле
оо |
оо |
|
T = ^ r p 1+r = V ( k - l ) Pk= ^ — . |
(5.1.49) |
|
r=0 k=l
Среднее время ожидания в очереди равно
А)ч= - 7 - = - — т~ — |
(5-1.50) |
К |JL 1 — а |
|
Среднее время нахождения заявки в системенайдем по формуле
T r= L ± ± - = — L _ |
(5.1.51) |
ц— X
Закон распределения времени ожидания в очереди определим из выражения (5.1.27) при условии, что п=1; к = а и
HmA?(/tt — 1, Х/)=1; |
|
|
|
||
linrxm= |
Нт ат = 0 , |
|
|
|
|
TTL —*■оо |
Л 1-+ оо |
|
|
|
|
так как а < 1 . |
|
|
|
|
|
jjg—ц.(1—а)/ |
при |
/ > 0 ; |
|
||
Р(Т0ЧХ ) = |
1 |
при |
|
/ < 0 , |
(5.1.52) |
|
|
|
|||
|
откуда |
функция |
распределе |
||
|
ния F04(t) |
будет иметь вид |
|||
|
^оч(0 = |
1 - а е - '1<1- а)<( /> 0 ) . |
|||
|
|
|
|
|
(5.1.53) |
|
График |
функции |
распределе |
||
|
ния времени ожидания в очере |
||||
|
ди |
имеет |
вид, показанный на |
||
|
рис. 5.1.8. |
|
|
||
О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы
Вероятность того, что занято ровно k каналов, а очереди нет:
Р (k, а) |
■(k= 0, 1, 2........ п), |
Р ь = |
|
Р (л. а) + Р (л, а) V. |
1— х т |
1—х |
186
где
fi ** ли
Вероятность того, что все каналы заняты и в очереди имеется г заявок:
р „ + г = у ' р п ( r = 0 , 1, 2 , . . . , от).
При х = 1 (а = л) |
получим |
|
_________Я (£, л) |
(* = 0, 1 , . . га); |
|
Л" |
R(n, п) + тР (л, п) |
|
|
|
|
Рп+г=Р„ (Г—0, 1, 2,..., гаг).
Вероятность обслуживания равна
^обс = 1 —%тРп-
Среднее число занятых каналов (среднее число обслуживае мых заявок)
/г = а(1 — АтРп).
Среднее число заявок, находящихся в очереди:
Г — |
п |
(1 — ^.)2 |
4 Г П |
|
т (т+ |
1) |
|
|
|
|
, |
1 v |
||
|
Л.-----5----- |
(*= 1 ). |
||
Среднее время нахождения |
заявки в очереди |
|||
Среднее время нахождения заявок в системе
t = ~ + k .
|
З а д а ч и и у п р а ж н е н и я |
|
|
||
5.1.1. |
Показать, |
что для любого |
т > 0 и любых |
параметров |
|
( п , Л , JLI) |
СМО с ожиданием имеет большую пропускную способ |
||||
ность, чем СМО с отказами и с теми же параметрами |
(я, |
Л, р). |
|||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
Вероятность обслуживания заявки для |
СМО с отказами |
равна |
|||
|
p i 1) _ R ( t l — 1, а) _ - __ Р ( п , а) |
|
|
||
|
°6С |
R(n , a) |
/?(л, 2 ) |
|
|
187
Вероятность обслуживания заявки для СМО с ожиданием равна
Яобс= =1 —*' |
Pin, а) |
1 — у."1 |
|
|
Я (П, я) + Р (л, я) х —-------- |
|
1 --X |
Рассмотрим первоначально случай, когда х = 1 (а =п), и по
кажем, что
P%L-P№c>0.
Разность вероятностей в этом случае равна
1 - |
р (/I, п)________ Г 1 |
Р (п, |
п) |
||
R (т, п) 4- тР (п, |
п) |
R (п, |
п) ] - |
||
|
|||||
= Р |
1 |
________1________ |
|||
R(n, п) |
R(n, п) + |
тР (л, п) |
|||
|
|||||
так как знаменатель первой дроби в квадратной скобке меньше знаменателя второй дроби.
Рассмотрим общий случай, когда к ф 1:
|
|
Я in, |
1 — |
У . п |
Г>(2) |
Pin, |
я) + Р (п, я) у. —--------— Я (л, я) у.т |
||
я) |
1 — |
У. |
||
‘ ож |
Я^бС- Я(п, |
я) |
|
1— у.т |
Я (л, я) + Р (Л, я) V.—--------
Для того чтобы эта разность была положительна, нужно, чтобы был положителен числитель последней формулы; покажем, что он положителен:
Я(п, |
|
1 _чт |
а)у.т — |
|
а)-\-Р{п, а)х------------ R(n, |
||||
1_ |
1— X |
|
||
[Я(/г, а)(1 —к) —чР(л, |
а)] = |
|||
= |
|
|||
= |
- Г^ |
Г [Я («, « ) - * / ? ( « - 1 , |
а)]. |
|
1_угп
Отношение —------ положительно при любом значении х. По-
кажем, что разность, стоящая в квадратных скобках, тоже поло жительна:
R ( n , a) — x R ( n — \ , a) = R ( n , |
а ) ------— R { n — 1, а) = |
|
|
|
П |
= Р ( 0. |
*) + J ]P (* . |
а) ( 1 — ~ ) > о, |
|
k=\ |
|
так как каждый член |
суммы .не. отрицателен |
|
188
Таким образом, мы показали, что при одинаковых парамет
р а |
(п, Ху р) |
система с ожиданием имеет большую пропускную |
||||
способность, |
чем |
система |
с отказами. |
Это достигается за счет |
||
увеличения времени нахождения заявки в системе, т. е. за счет |
||||||
того, что заявка будет ожидать в очереди. |
||||||
5.1.2. |
Рассматриваются опять две системы: 1) система с отка |
|||||
зами |
с параметрами п, X, pi и 2) система с ожиданием с пара |
|||||
метрами |
п, а, р2, тп. При этом p i> ji2, |
т. е. производительность |
||||
каждого |
канала |
системы |
с |
|
||
отказами |
больше, |
чем про y l t i y ( 2 i |
|
|||
изводительность каждого ка |
л 0 ' А 0 |
\ { 1 ) |
|||
нала системы с ожиданием. |
7 1 } Х у |
Аа |
|||
Считая |
число |
каналов |
п |
|
|
и число мест в очереди т за |
|
|
|||
данными, |
определить, при |
/ х |
1 |
||
каких значениях |
параметра |
||||
X система с отказами будет |
г |
1 |
|||
1 |
|||||
иметь большую |
пропускную |
0 |
Л ’ |
||
способность, чем |
система |
с |
|
|
|
ожиданием, и наоборот. |
|
|
Рис. 5.1.2а |
||
Р е ш е н и е Рассмотрим характер изменения абсолютной пропускной спо
собности для СМО с отказами (Хс(1)) и для СМО с ожиданием (W2)) (рис. 5.1.2а) в зависимости от интенсивности потока зая вок X при условии, Ч Т О Р 1> Р 2 . При большой интенсивности по тока заявок X все каналы будут практически заняты и в этом
случае пропускная способность обеих систем будет определяться лишь общим числом каналов п и производительностью канала р. Так как по условию p i> p 2, а число каналов у них одинаковое, то при X— их> Я0(1)>^о(2). При X— *0 абсолютная пропускная способ
ность обеих систем будет тоже стремиться к нулю (заявок очень мало), а относительная пропускная способность для обеих си стем будет одинаковой:
lim Робе = |
lim Р^с = 1, |
Х-*0 |
Л -0 |
так как любая заявка будет принята к обслуживанию.
В примере 5.1.1 было показано, что в случае одинаковых па раметров (/г, X, х) пропускная способность СМО с ожиданием (при т > 0) всегда выше пропускной способности СМО с отка
зами. Следовательно, о г р а н и ч е н н о е (небольшое) увеличе ние производительности обслуживания канала СМО с отказами можно «компенсировать» увеличением числа мест т в очереди
для СМО с ожиданием, т. е. всегда можно подобрать такую про изводительность канала обслуживания p i> p 2 для системы с от казами, когда пропускная способность обеих систем будет оди наковой.
189