Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

В ер о я т н о ст ь того, что канал зан ят, равна

*..К=1 - Р о = — =х.

(5.2.28)

п

 

Вероятность того, что система будет полностью

загружена,

найдем из выражения

 

л -1

 

-п.з=

2 ^

= 1 ~ 2 Рк=хП-

 

г=О

k = 0

Среднее число заявок в очереди равно [см. (5.2.16)]

Г = Р„

= * я(1—*)

vл+1

' (1—%)2 1—%

 

(1—*)2 '

(5.2.29)

(5.2.30)

Среднее число заявок в системе найдем из выражения

I=Ё/Рг=£ /х,(1_*): 1—*

(5.2.31)

/=о /=о

 

Среднее время пребывания заявки в очереди

 

 

1

хЛ+1

(5.2.32)

^04

1Л

к

11— -х.

Вероятность того, что время ожидания в очереди будет боль­ ше t, определим из выражения (5.2.20) при т — кэо:

р (Точ> /) =

у > 0).

(5.2.33)

Вероятность того, что время пре­ бывания в очереди будет равно ну­ лю, найдем из выражения (5.2.22) при пг— кх> и х<1:

Я(ГОЧ= 0) = 1 - Л

(5.2.34)

Следовательно, функция распре­ деления времени нахождения заяв­ ки в очереди равна

F 04(0 = Р (Т'оч < t) = 1 - Р (Ton > t ) - P (T04 = t).

График этой функции распределения имеет вид, показанный на рис. 5.2.5.

199

Среднее время пребывания заявки в системе найдем из вы­ ражения:

’ 1

1— хп +ш [(А2+ т ) П - у.) +

1] (у Ф 1);

П\х

 

(1 _+

(5.2.35)

7 = L = r.± L

т

 

п

(4= 1).

 

 

2Х

 

 

 

 

При т со и 4

I получим

 

 

7 = — = - 1

(5.2.36)

 

 

/lfJL 1 ---- 7 .

 

О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы

Вероятность того, что в системе будет k заявок:

 

1—4

- (4

¥= 1, 6 =

 

0, 1,

2 , . . п-\-т);

 

!_»«+»*+

 

Рк=

 

 

 

 

 

1

(*=!)>

 

 

 

 

 

 

 

п

+ т + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П[1

 

 

 

Вероятность обслуживания заявки

 

 

 

 

 

] _уп+ т

 

(х ^

1 )*>

 

Робе —

I

уп+ т+1

 

 

п -f т

 

 

 

 

 

 

(*=!)■

 

 

 

/2 + /Й+1

 

 

 

 

 

 

Среднее число занятых каналов

 

 

 

 

 

 

\ - ъ п+т

 

 

 

 

пъ-----

 

( * # П ;

 

k =

1]._-ХП-Г"« +1

 

 

я

п 4- m

 

(Х.-1).

 

 

 

 

 

 

 

п + т + 1

Среднее число обслуживаемых заявок

i -%я[л(1-%) + 1

/г%[хя — х ’+'и] (у. =£ 1);

s =

/1Г/14- I)

-//77/1

!

(x== 1).

 

 

J

7/ -h m +

1

2 0 0

Среднее число заявок в системе

 

i. l - y . ' 1 + m [ ( n + / n ) ( l - x ) + Ц

 

(* ¥= 1);

1=

(1 — V."+m + 1) ( l — х)

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

( ^

1 ) ;

1_ х л+т+1(1 —х)

Г = 1— S —

т ( т + 1)

2 (п т + 1) - (*= !)•

Вероятность того, что канал занят:

В е р о я т н о с т ь т о г о , ч т о с и с т е м а

п о л н о с т ь ю з а г р у ж е н а :

1 —ъп+т 7

(*¥= 1);

т1

п+ т + 1

С р е д н е е

в р е м я

п р о с т о я

к а н а л а

 

 

7

J

-

 

 

 

*■П.К--

к

 

С р е д н е е в р е м я з а н я т о с т и к а н а л а

 

 

^з.к== ^п.к

 

Я3.к

 

 

 

1

С р е д н е е

в р е м я

н е п о л н о й

з а г р у з к и с и с т е м ы

 

 

1

1 —

(* ф IV,

 

 

щл.

 

 

 

 

Ъп(1 — %)

 

 

t\K. 3 --

 

 

 

 

 

— (*= !)•

 

 

 

д

 

 

 

С р е д н е е

в р е м я

п о л н о й

з а г р у з к и с и с т е м ы

 

 

^п.з—^Н.З

Я т т .З

 

 

 

 

 

 

 

1

---- Я

п . з

201

Среднее время нахождения заявки в системе

х

Среднее время нахождения заявки в очереди

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

5.2.1.Доказать, что СМО с очередью и полной взаимопомо­ щью между каналами (т > 0 ) имеет большую пропускную спо­ собность, чем СМО с отказами и полной взаимопомощью между каналами при условии, что параметры обеих систем (я, X, р) одинаковы.

5.2.2.Доказать, что СМО с очередью и полной взаимопомо­ щью между каналами имеет большую пропускную способность* чем СМО с очередью и отсутствием взаимопомощи при условии,, что параметры обеих систем (я, X, р, т) одинаковы.

5.2.3.Рассматривается СМО с ожиданием и частичной взаимопомощью, когда каналы могут помогать Друг другу* объединяясь в группы, наибольший состав которых равен /< я . Подобная система с отказами рассматривалась в § 4.4. При за­

нятии всех каналов очередная пришедшая заявка не получает

Л Л , X Л. , к \

х 0

'К

яр.

яр

яр,

ГЦ1

fl\L

 

 

Рис. 5.2.3а

 

 

 

отказ, а может стать в очередь, число мест в которой равно /я. Составить размеченный граф состояний системы и найти основ­ ные характеристики работы такой системы.

Р е ш е н и е .

Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 5.2.3а. На

этом графе величина A=^-y-j Равна целой части отношения

-у-. Этот граф с точностью до обозначений совпадает с графом

состояний системы массового обслуживания с частичной взаимо­ помощью (см. рис. 4.4.1) или системы массового обслуживания с ожиданием (см. рис. 5.1.1.)

202

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/83058

Смотрите также:

2014 biblioonline ru
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»