Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

начинает сказываться наличие большей производительности СМО с отказами. Так, например, при Л=8 вероятность того, что в системе с ожиданием будет очередь, равна [см. (5.1.17)]

Р е ш е н и е Абсолютная пропускная способность СМО с ожиданием

(А,0(2)(т )) есть неубывающая функция числа мест в очереди т

(рис. 5.1.3а), имеющая определенный предел присяг — ос:

1о2)— Пт Хо2) (ш).

/Я-*-«о

190

При га= 0 она равна абсолютной пропускной способности СМО с отказами (?*o(1)= W2)(0))- Естественно, что при решении постав­ ленной задачи величина Д должна быть ограничена условием

Абсолютная пропускная способность системы га) при не­ ограниченном увеличении числа га зависит от того, какое значе-

X ние имеет параметр */.= — .

ГЦ1

Рассмотрим два случая: 1 х < 1.

Б этом случае [см. (5.1.9) и (5.1.2)]

Таким образом, величина Д при х < 1 равна

Д = X — Х0 (т*) = X — Х Р 0бс (т*)= Ъ.т*рп(т*)=

Из этого выражения после простых преобразований можно найти

Полученное из последнего выражения число нужно округлять до ближайшего большего целого числа, так как число мест в очере­ ди га* должно быть целым.

2. х ^ 1 .

В этом случае при га=оо стационарного режима не сущест­ вует, однако абсолютную пропускную способность системы мож­ но определить исходя из того, что система будет полностью за­ гружена:

Xo2)= lim Хо2)(га) = Л|А.

191

Величина А при х ^ 1 будет равна

большего целого числа.

Во всех формулах этого примера величина А должна удов­ летворять условию

A <X is>-Xj?> =

§5.2. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СОЖИДАНИЕМ И ПОЛНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ

МЕЖДУ КАНАЛАМИ

П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход /г-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью X. Интенсивность простейшего потока обслужи-

ваний каждого канала р. Если заявка застает все каналы свобод­ ными, она принимается на обслуживание и обслуживается все­ ми п каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в п раз. После окончания обслуживания все ка­

налы освобождаются одновременно. Если вновь прибывшая за­ явка застает в системе одну заявку, то она принимается на об­ служивание: часть заявок обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов приблизительно равномерное. Если в системе обслуживалось k

каналами, распределяясь произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием, т. е. порядак обслужива­ ния тот же, что и в СМО с отказами и полной взаимопомощью,

192

рассмотренной в § 4.3. Если в системе имеется п заявок (каждая

из них обслуживается одним каналом), то вновь прибывшая заявка встает в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов. Если в системе имеется п + r заявок (п из них обслу­ живается и г ожидают в очереди; г = 0, 1, 2, ..., т— 1), то вновь

прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди т. Если вновь прибывшая заявка застает в оче­ реди т заявок, то она получает отказ и исключается из обслу­

живания. Попавшие в систему заявки (на обслуживание или в очередь) обслуживаются до конца (заявки «терпеливые»). Вели­ чины п, р, т будем называть параметрами СМО.

Рис. 5.2.1

Состояния рассматриваемой системы будем связывать с чис­ лом заявок, находящихся в системе:

хк— в системе имеется k заявок (& = 0, 1, ..., л), они обслужи­

ваются всеми л каналами, общая производительность

обслуживания лр;

хп+г — в системе имеется л+ r заявок (r=0, 1, ..., т ) , л-из них обслуживается п каналами (каждый канал обслуживает одну заявку), г заявок ожидает в очереди.

Граф состояний такой системы показан на рис. 5.2.1. На осно­ вании этого графа состояний можно составить систему диффе­ ренциальных уравнений для вероятностей состояний, которая справедлива не только для постоянных, но и для любых перемен­ ных параметров X(t) и р(/). Читатель может составить такие

уравнения самостоятельно, воспользовавшись мнемоническим правилом, изложенным в § 2.3.

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при Х= const, р = const, т < оо, t— кх>), который существует, так как

система обладает эргодическим свойством (см. § 2.4).

Заметим, что граф состояний рассматриваемой системы с точностью до обозначения максимального числа возможных со­ стояний совпадает с графом состояний СМО с отказами и полной

193