Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Найдем характеристическую функцию интервала времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга ft-ro по­ рядка:

£ >5 ) поток Эрланга А-го порядка можно считать приближенно нормальным с параметрами (1.5.33) и (1.5.34). Это следует из того, что в потоке Эрланга k-то порядка интервал между сосед­

ними событиями представляет собой сумму (£+1) независимых случайных величин, распределенных одинаково по показатель­ ному закону, а такая сумма, согласно центральной предельной теореме, при &-мх> асимптотически нормальна.

Рассмотренный нами поток Эрланга получается путем выбра­ сывания из простейшего потока k точек подряд и оставления

каждой (&+1)-й точки. Такое преобразование приводит к тому, что интенсивность потока Эрланга k-vo порядка Хи уменьшается

в (&+1) раз по сравнению с интенсивностью исходного простей­ шего потока с интенсивностью X:

(1.5.41)

28

Введем новое преобразование простейшего потока, состоящее из такого же «разрежения», как выше, но после этого поток «сжи­ мают» так, чтобы его интенсивность была равна интенсивности первоначального простейшего потока. Для этого достаточно ин­ тервал времени Т между двумя соседними событиями в потоке

Эрланга 6-го порядка уменьшить в (6+1) раз. Назовем такой поток нормированным потоком Эрланга 6-го порядка. В этом по­

т. е. интенсивность нормированного потока Эрланга k-vo поряд­

к регулярному. Этот вывод подтверждается анализом характе­

ристической функции величины Т (см. 5-е свойство характери­

стических функций в § 1.2):

Найдем предел этого выражения при k— »-оо:

1х

29

Это выражение с точностью до обозначений совпадает с ха­ рактеристической функцией интервала между событиями ре­ гулярного потока [см. (1.5.10)]. Следовательно, при достаточно большом k нормированный поток Эрланга k-то порядка будет

сколь угодно близок к регулярному потоку.

Таким образом, с помощью нормированного потока Эрланга можно построить целую гамму потоков с различным последей­ ствием начиная от полного отсутствия последействия (& = 0) вплоть до регулярного потока (соответствующего k=oo). Заме­ тим, что при к>5 рассматриваемый нормированный поток (так

же как и ненормированный) можно считать нормальным, но с па­ раметрами (1.5.44) и (1.5.45).

Для нормированного потока^ Эрланга &-го порядка закон распределения участка времени Г*, на который случайным обра­ зом падает точка 5, имеет вид

/* (') = 1 ‘ 7ГГ7ТГ в“Х*'=Х(А + 1)Р(Л + 1> ЦЛ + 1 )*), 0-5.47)

т. е. тоже представляет собой закон Эрланга, но (&+1)-го по­ рядка с параметром А*= Л.(Л+1). Следовательно, числовые характеристики случайной величины Г* можно найти по форму­ лам, аналогичным (1.5.36) и (1.5.37):

Плотность распределения случайной величины 0 — остатка времени до наступления очередного события в нормированном потоке Эрланга k-vo порядка — определяется по формуле, анало­

гичной (1.5.38):

Числовые характеристики случайной величины 0 равны соответ­ ственно

Напомним, что величина X в формулах (1.5.43) — (1.5.52) равна

интенсивности исходного простейшего потока событий.

30

§1.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОТОКОВ СОБЫТИЙ

Вбольшинстве исследований прикладного характера делается предположение, что фигурирующие в них потоки событий являются пуассоновскими. Это объясняется не только тем, что введение пуассоновских потоков событий намного упрощает исследование

иоблегчает нахождение решения, а еще и тем, что пуассоновские

ленном смысле они являются предельными для различных пото­ ков. Например, если накладывать друг на друга («складывать») большое число различных по структуре потоков событий, то сум­ марный поток в весьма широком классе условий будет близок к пуассоновскому. С другой стороны, если взять произвольный поток и из него случайным образом выбрасывать события, то по­ сле нескольких таких разрежений полученный поток событий бу­ дет также близок к пуассоновскому * На практике очень часто фактически имеет место сложение или случайное разрежение потоков событий, поэтому пуассоновские потоки событий нахо­ дят широкое применение при решении различных прикладных задач.

1. Предельная теорема для суммарного потока

Предельная теорема для суммы нескольких потоков имеет такое же значение, как и центральная предельная теорема для суммы нескольких случайных величин. Центральная предельная теорема утверждает сходимость закона распределения суммы независимых случайных величин к нормальному закону при уве­ личении числа слагаемых. Предельная теорема для суммарного потока утверждает сходимость суммы независимых, ординар­ ных, стационарных потоков к простейшему потоку. При этом ус­ ловия, налагаемые на суммируемые потоки, приблизительно та­ кие же, как и условия центральной предельной теоремы: скла­ дываемые потоки должны оказывать более или менее одинаково малое влияние на суммарный поток. Другими словами, среди суммируемых потоков не должно быть потоков с очень большой интенсивностью (по сравнению с суммарной интенсивностью всех остальных); интенсивности складываемых потоков не должны становиться по мере увеличения номера потока исчезающе ма­ лыми; кроме этого, должны быть наложены некоторые несущест­ венные ограничения на последействие внутри каждого потока, которые мы не будем уточнять, так как книга носит прикладной характер. Здесь важно отметить, что сходимость суммарного по­ тока к простейшему осуществляется очень быстро. Практически можно считать, что сложение четырех-пяти стационарных, орди-

* Ниже будет дано более подробное разъяснение понятий сложения и раз­ режения потоков.

31