Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

образования выражения (5.3.16), получим следующую формулу:

у ) — fc iy f-* ""1)""'	\Ъх ( у — 1)1 ?(°. у) + № ( у — 1)У(0. 0)		/JJ g \|j4
\\Ху (1	— х) 4- i 2xy (1 — и) +	(х — 1)	‘ *

Наилем корни х\ и х2 знаменателя этого				выражения, считая,
что 1^/у<0:
^	+ ^2О — у) + JJ-i	\	(К\ + ^2(1 — О +	^i)2 — 4Х-\|jj-i	(5.3.18)
д 1------------------------------------------------------			2Х, -----------------		(5.3.18)
			2Х, -----------------
„ __X] +	(1 — у) 4- ;i.\| +	~V	(X] 4- а2(1 — у) + f^i)- — 4МШ		(5.3.19)
					(5.3.19)

Это даст нам возможность (после некоторых довольно гро моздких преобразований, которые мы опускаем) получить следу ющее выражение для производящей функции:

(1 — д) (1 — a^i)_____

<?(*, у) = (5.3.20) (1 — а,*! — сед) (1 — чхххх)

где

a = а, -!~а0.

(5.3.21)

Обратим внимание на то, что величина Х\ зависит от переменной

у . При у = 1 x i = \ .

Для нахождения отдельных вероятностей состояний можно воспользоваться следующими формулами:

/Во.о= ®(0, 0 ) = 1 — а;

Pi,r-	0 у!	д1^ -<?(•*, у)
	0 у!	д х 1 dyi

(5.3.22)

(5.3.23)

Л- = v = О

Воспользуемся выражением производящей функции cp(.v, у ) [см. (5.3.20)] для отыскания закона распределения числа заявок, не обладающих приоритетом в обслуживании и находящихся в СМО:

1— я

(5.3.24)

1 — alx l — any

/ = 0 У= 0

;=о

откуда

(5.3.25)

При вычислении производных по выражению (5.3.25) нужно иметь в виду, что величина Х\ является функцией у [см. (5.3.18)].

209

Среднее число заявок, обладающих приоритетом в обслужи вании и находящихся в очереди, определяется из выражения, аналогичного выражению (5.1.48):

-	<«.)*	(5.3.26)
	1 —ct,

Среднее время пребывания заявки, обладающей приоритетом, в очереди равно

tоч. — —: —	“1	(5.3.27)
	1 — “1
Ml

Среднее время пребывания заявки, обладающей приорите том, в системе (в очереди и на обслуживании) найдем по фор муле

7, = f	= 7 0Ч, + ± - = ± ( - ^ -	+ \ ) = ± — L - (5.3.28)
К г	Н-1 Ml \1—« 1	/ Р-1 1 — а 1

Среднее число заявок, не обладающих приоритетом и нахо дящихся в системе, найдем из выражения (5.3.15):

				dx\	+ а2
				а\ ~	+ а2
			(1-сО-	_____ dy_______
\	ду	Л = 1	(1-сО-	(1 — ai*i — a2i/)2 у=1
		Х2*1	+ а2
	Mi	- X jjcJ	+ а2		1-\|_ ^2	°1	]
= ( 1 - а )	Mi	- X jjcJ		а2
= ( 1 - а )				а2
	(1 —а!^1 —“2У)- -* ' = 1			1 — а	М-1	1 —	а 1 J
При [ij = ц2	получим						(5.3.29)
При [ij = ц2	получим
	Г,==- (,l _ a)			ai			(5.3.30)
	Г,==- (,l _ a)		(1- g,)	(1 — 2aj) (1 — ах)			(5.3.30)

Среднее время нахождения в системе заявки, не обладающей приоритетом, равно

t	_	^2_f	I ^	(5.3.31)
*2	—^		1	(5.3.31)
*2	—^	— <04.-1----- 1
		Л2	М2

откуда среднее время ожидания в очереди для заявки, не обла дающей приоритетом, будет

h		1 +	М2	g]
h		1 +	Mi	1— gi
H-2	\x2 L		l
1	[J-o	ai		+
	M-l	i — ai		+
	M-l	i — ai		(5.3.32)
f*2		] — a		(5.3.32)
f*2		] — a

210

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

5.3.1. Рассматривается функционирование большого аэродро ма с единственной взлетно-посадочной полосой (ВПП). В сред нем за сутки взлетает 240 самолетов и садится тоже 240 самоле тов. При посадке самолет занимает ВПП в среднем в течение 3 мин, а при взлете 1,5 мин. Определить характеристики работы

аэродрома в стационарном режиме. Р е ш е н и е

Аэродром можно рассматривать как одноканальную систему с приоритетом. Самолету разрешается взлет с аэродрома в том случае, когда нет самолетов, идущих на посадку. Поток самоле тов, идущих на посадку, можно рассматривать как поток заявок, обладающих приоритетом в использовании ВПП. Характеристи ки такой системы с приоритетом следующие:

X, = X,= 240 — !— = — —

сутки

6 мин

Характеристика обслуживания

\xi =	1	1
\xi =	-3--------	мин ;
	2	1
\|А2=	----------3	мин •

Следовательно:

Условие ai + (X2< l выполняется.

Среднее число самолетов, ожидающих в воздухе, пока осво

бодится ВПП, равно		(0.5)2 = 0,5.
7 _	(*i)2	(0.5)2 = 0,5.
1	1 - а ,	1— 0, 5

Среднее время пребывания самолета в воздухе перед по садкой

т1

t04 = — = — 6 = 3 мин.

Среднее время, затрачиваемое самолетом на посадку:

71=Гоч,+— = 3 + 3 = 6 мин. V-1

211

Среднее время ожидания разрешения на взлет для самолета, находящегося на аэродроме, равно

	1а2	4- 2 _		2 — + 0,75
	JJLj 1-- Gtj		3
^оч„— '				0,5	- = 16,5	мин.
	1 — я	“	Т	0,25

Среднее число самолетов, ожидающих на аэродроме разреше ния на взлет, найдем по формуле

r0 = A0tf04(, = — • 16,5 = 2,75.

Среднее время, проходящее от момента готовности самолета ко взлету с аэродрома до момента осуществления взлета, равно

t2= / о ч — = 16,5+ 1, 5= 18 мин.

М-2

Среднее число самолетов, готовых ко взлету, но находящихся на аэродроме, равно

4 = л272= — - 1 8 = 3 .

Таким образом, мы видим, что несмотря на довольно большое число посадок и вылетов за сутки (240) вможно считать, что аэродром будет функционировать нормально: самолетам, иду щим на посадку, не придется долго ждать в воздухе освобожде ния ВПП.

Замечание. Задача решена приближенно. При реальном функ ционировании аэродрома самолеты, идущие на посадку, не име ют полного (абсолютного) приоритета: если взлетающий само лет уже бежит по ВПП, то его взлет не прекращается. Однако приближение не вносит сколько-нибудь заметных изменений в полученное в задаче решение.

5.3.2. Анализируется работа междугороднего переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет только один телефон ный аппарат для переговоров. Переговоры бывают двух видов: обычные и срочные. При проведении срочного переговора обыч ный переговор прерывается. В среднем за сутки поступает 180 заявок на обычные переговоры и 60 — на срочные переговоры. Средняя длительность переговоров обоих видов (с учетом вы зова абонента в другом городе) составляет 5 мин. Определить

характеристики работы переговорного пункта в стационарном режиме.

212

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/83058

Смотрите также:









2014 biblioonline ru
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»