Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Р е ш е н и е

Переговорный пункт можно рассматривать как одноканаль­ ную систему массового обслуживания с приоритетом. Ее харак­ теристики следующие:

Среднее число ожидающих срочного переговора будет равно

Среднее время ожидания срочного переговора

^<>4,= — = 1 ,2 0 мин. h

Среднее время ожидания обычного переговора

Среднее число ожидающих обычного вызова

Г2— оч2*— 4,11.

Среднее число людей, находящихся на переговорном пункте (за исключением обслуживающего персонала):

Таким образом, мы видим, что приобретение за дополнитель­ ную плату права на срочный переговор сокращает время ожида­ ния в очереди приблизительно в 27 раз.

Глава 6

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С РАЗЛИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ВРЕМЯ

ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ

До сих пор мы рассматривали такие СМО, когда заявки, по­ пав в систему, «терпеливо» ожидали конца обслуживания. Однако на практике имеют место случаи, когда заявки по тем или иным причинам, не дождавшись окончания обслуживания, покидают систему. Будем называть такие заявки «нетерпеливы­ ми». Их «нетерпеливость» может проявиться либо при нахожде­ нии заявки в очереди, либо при |нахождении заявки на обслужи­ вании, либо и в очереди и на обслуживании.

С тем, чтобы остаться в рамках марковских случайных про­ цессов с непрерывным временем, нужно сделать допущение, со­ стоящее в том, что на заявку, находящуюся в системе, действует пуассоновский поток уходов из системы. Будем считать, что параметр этого потока различен в зависимости от того, находится ли заявка на обслуживании или ожидает в очереди. Интенсив­ ность потока уходов заявки из очереди обозначим v, а интенсив­ ность потока уходов из каналов обслуживания — т]. Для некото­ рых случаев эти параметры могут быть равны. Иногда эти интен­ сивности называют параметрами «нетерпеливости»: параметр v есть параметр «нетерпеливости» при нахождении в очереди, а параметр т] — параметр «нетерпеливости» при нахождении на об­ служивании.

Примером системы массового обслуживания с ограниченным временем пребывания заявки в системе является радиолокаци­ онный комплекс определения параметров полета самолетов по трассе. Этот комплекс имеет определенную зону, в пределах которой он может «обслужить» самолет, т. е. измерить различ­ ные параметры движения самолета и передать эту информацию на самолет или в другое место. Если за время пребывания само­ лета в зоне действия комплекса его параметры не успеют изме­ рить, то самолет покинет зону «необслуженным».

Другим примером может служить работа конвейера по сбор­ ке. На каждом рабочем месте собираемый агрегат находится

214

ограниченное время, по истечении которого этот агрегат перево­ дится на другое рабочее место. Если за отведенное время все операции не будут выполнены, агрегат не будет обслужен на этом месте.

Наиболее типичным примером работы системы массового об­ служивания с ограничением времени пребывания заявки в систе­ ме является работа системы противовоздушной обороны (ПВО). Система ПВО имеет вполне определенную зону обстрела, в пре­ делах которой самолет (заявка) может быть поражен (обслу­ жен). Следовательно, самолет, попав в зону обстрела, находится там ограниченное время (проявляет «нетерпение»),

§ 6.1. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ,

заявки в системе. Алгоритм работы системы следующий: если к моменту поступления заявки в систему свободен хотя бы один из

Рис. 6.1.1

п каналов, то эта заявка принимается к обслуживанию только

одним (любым) из свободных каналов. Если к моменту поступ­ ления заявки в систему все каналы заняты, то данная заявка остается необслуженной. На занятый канал действует пуассонов­ ский поток освобождений с интенсивностью р*. Эта интенсив­ ность слагается из интенсивности потока обслуживаний одного канала р. и интенсивности потока уходов заявки из-под обслужи­ вания, которую обозначим буквой 4 :

системы (не дожидаясь конца обслуживания). Интенсивность потока заявок равна X.

В любой момент времени t рассматриваемая система может

215

Граф возможных состояний такой системы с указанием пара­ метров потоков событий, переводящих систему из состояния в со­ стояние, изображен на рис. 6.1.1. В соответствии с приведенным на этом рисунке графом и мнемоническим правилом, указанным б § 2.3, система дифференциальных уравнений для вероятностей

•состояний будет иметь вид

Эту систему дифференциальных уравнений обычно интегри­ руют при следующих начальных условиях:

Л )(0)=1; /с*(0)=о ( л=1, 2, . . . , п)

(в начальный момент времени при / = 0 система свободна). Для любого момента времени t выполняется нормировочное условие

к=0

Граф, изображенный на рис. 6.1.1, с точностью до обозначений совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания, приведенным на рис. 4.1.1. Поэтому вероятности состояний системы в стационарном режиме могут быть найдены по формулам, аналогичным (4.1.12):

P(k, а*) и R(n, а * ) — табличные функции пуассоновского рас­

пределения.

Для рассматриваемой системы вероятность обслуживания заявки уже не может быть определена как вероятность того, что заявка, поступившая в систему, застанет свободным хотя бы один из каналов. Это лишь необходимое условие обслуживания. Для того чтобы заявка была обслужена, нужно, чтобы к мо-

.216

менту поступления ее в систему был свободен хотя бы один из каналов и чтобы за время обслуживания заявка не покинула систему.

Для отыскания вероятности обслуживания заявки восполь­ зуемся выражением

При т]= 0 рассматриваемая система превращается в СМО с отказами, анализ которой был проведен в § 4.1. Продолжим ис­ следование системы с ограниченным временем пребывания за­ явки в системе.

Плотность потока обслуженных заявок будет равна

Время занятости канала по условию распределено по показа­ тельному закону с параметром р*. Следовательно, среднее время занятости канала будет

Среднее время простоя канала определим на основании эргодического свойства:

Среднее время, в течение которого заняты все каналы (сред­ нее время полной загрузки системы), равно

217