Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

откуда среднее время неполной загрузки системы найдем по фор­ муле

— вероятность того, что в системе заняты все каналы (система полностью загружена).

Ввиду небольшого объема этого параграфа не будем здесь приводить сводку основных расчетных формул.

Параметры движения самолета измеряются в среднем в тече­ ние одной минуты. Если самолет, влетевший в зону измерения параметров, застает обе радиолокационные станции занятыми, то его параметры не измеряются. В среднем за один час в зону измерения параметров влетает 30 самолетов. Определить раз­ личные характеристики работы такой системы.

Р е ш е н и е Рассматриваемый радиолокационный комплекс состоит из

а*= — —0,375.

[1*

Таким образом, радиолокационный комплекс можно рассмат­ ривать как двухканальную систему массового обслуживания с

218

отказами ограниченным временем пребывания заявки в системе и упорядоченным обслуживанием.

Вероятность того, что параметры самолета будут измерены, определяются по формуле (6.1.8):

Среднее число занятых каналов

k==_ P occb — Q 3 5 g

JL

Вероятность того, что канал занят:

- з .к = — =0,179.

П

Среднее время занятости радиолокационной станции (канала)

ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ И УПОРЯДОЧЕННЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ

П о с т а н о в к а з а д а ч и . Рассматривается п-канальная система массового обслуживания, которая отличается от рас­ смотренной в § 6.1 лишь тем, что заявка, заставшая все каналы занятыми, может быть в дальнейшем обслужена, если за время пребывания ее в очереди освободится хотя бы один из каналов.

живаются (каждая заявка одним каналом). Если в системе на­ ходятся (/г+ г) заявок (г^ га), то п из них обслуживаются, а г

находятся в очереди на обслуживание.

Если в системе находится /г + га заявок, то п из них обслужи­

ваются, ага — ожидают обслуживания. Если заявка, поступив­ шая в систему, застала в ней (/г-Нга) заявок, то она получает отказ и обслуживанию не подлежит при любых условиях.

Находясь в очереди, заявка может проявлять «нетерпение». Обозначим интенсивность потока уходов заявки из очереди вели­ чиной v, которая в общем случае может отличаться от интенсив­ ности потока уходов заявки из-под обслуживания т) (см. § 6.1). В частном случае, если заявка ведет себя статистически одина­

219

ково, находясь как в очереди, так и на обслуживании, интенсив­ ности v и г] могут быть равными.

На рис. 6.2.1. показан граф состояний такой системы. Мы видим, что до состояния хп этот граф совпадает с графом систе­

мы с отказами и ограниченным временем пребывания заявки в системе, изображенным на рис. 6.1.1. Далее, в схеме имеются другие состояния, характеризующие наличие того или другого

Рис. 6.2.1

числа заявок «в очереди» на обслуживание. Для определенности

—обслуживается п заявок, т заявок ожидают обслужи­

вания.

Пользуясь графом, изображенным на рис. 6.2.1, можно выпи­ сать систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний системы с ожиданием и ограниченным временем на­ хождения заявки в системе:

dpAt)

( U < * 0 ) ;

dpn ' m (t) = — + /И pn+m 0) + bpn+m_\ (t). dt

220

ожиданием, когда параметры ц, т], Л, v являются постоянными и система работала достаточно долго для того, чтобы переходной процесс затух. Тогда вместо системы дифференциальных урав­ нений (6.2.1) мы получим систему алгебраических уравнений. Эту систему можно получить из системы (6.2.1), если положить все производные равными нулю. Решая последовательно такую систему алгебраических уравнений, можно получить следующие выражения для вероятностей состояний в установившемся ре­

где величина а* определяется так же, как и в § 6.1:

Введем новые обозначения

^__L

(6.2.5)

(6.2.6)

Величине у можно дать такое истолкование: это есть среднее

число заявок, которое находилось бы в системе, если бы ни одна из них не обслуживалась. В этом случае заявки покидают систе­ му только за счет своего «нетерпения».

Величина 6 есть среднее число циклов обслуживания всеми п

2 2 1