Документ: Прикладные задачи теории массового обслуживания., страницы 221-225

Умножим знаменатель и числитель правой части (6.2.8) Н0 е-а* и с уЧехом обозначений (1.5.23) и (1.5.26) получим

р0= --------------------		—	--------------------т	Г			(6.2.9)
	R (п, а*) +	Р (л, а*)	--------------------т	Г
	R (п, а*) +	Р (л, а*)	У	1--------
			' =1 П(8 + Л
			]=1
Подставим выражение (6.2.9) в (6.2.2) и (6.2.3):
рк= -------------------	------------------------------т	г	(А =	0,	1, ... ,	я),	(6.2.10)
	------------------------------т	г
R (П, а*) +	Р (л, а*) ^	- 7 — 5---------
	r=1	П (6	+ у )
		}=i
Р (л, а*)		-------
р„+г=	П (з+j)					т).
р„+г=	— -------------------		(г =	1,	2, . . . ,	т).	(6.2.11)

т-Г

R (Л, а*) + Р (л , а*) ^ ---------

Г=1 П (6 + у )

}=1

Дальнейшие преобразования связаны с необходимостью введе ния в рассмотрение гамма-функции Г(х). Напомним ее опреде ление

T ( x ) = \e - 4 * - 4 t.	(6.2.12)
о

Нам потребуется использовать следующие два свойства гаммафункции:

1) для любого действительного положительного х

r (j c + l) = jc r (JC);

(6.2.13)

2) для любого неотрицательного целого х

Г (*-4-1)=*!

(6.2.14)

На основании первого свойства гамма-функции можно на писать следующее равенство:

П ( 8+ ; ) =	Г ( 6 + г + 1)	(6.2.15)
	Г(8+ 1)	(6.2.15)

j =1
j =1

222

Рассмотрим выражение		Птг^—г- при условии, что вели-
чина б я в л я е тс я	ц е л ым	i=i t6* ')
		н е о т р и ц а т е л ь н ы м ч и с л о м .
В этом случае [см.	(6.2.14) и	(6.2.15)]

			7Г		Y г (5 + 1)			/6!		(6.2.16)
		П	(В	+J)	Г (В +		/■ + 1)	(5 + г)\		(6.2.16)
					Г (В +		/■ + 1)	(5 + г)\

		}=1
Это выражение преобразуем к виду
7r-B!	75+r.e“T.S!						1	р (S	+	Г, 7)
-------------- т-------------- • = — !-------е							1-------	^ Р (В.		.(6.2.17)
(В + л)!	7°<>- т	(В	+	л)!	(В	+	г)!	^ Р (В.		7)
После этого легко вычислить сумму, входящую в знаменатель
выражений (6.2.10)				и (6.2.11):
							т + о		6
				m	Р (В +			р & 7 )2 ~ SP V' 7)
			-Е		Р (В +	г, 7) _ / = о _ _ _ _ _ _1=0_ _ _ _ _ .
Г=1	П	( 8	-Е		Р (5.	7)		Р (8,	7)
Г=1	П	( 8	+	у)	' = 1
	;=1				Я (т +	В,7) — К (В,		7)
					Я (т +	В,7) — К (В,		7)		(6.2.18)
										(6.2.18)

Р (В, 7)

Таким образом, при целом неотрицательном б окончательно по лучим следующие выражения для вероятностей состояний:

Pk= г			Р (к, а * )				(О < £ < г е ) ,	(6.2.19)
	/	- W	П	, к(т+ь, 7) —		я	(О < £ < г е ) ,	(6.2.19)
	/	- W	П	, к(т+ь, 7) —		я	(В,7)
R <п- ‘		>+ р (п'	а	) --------------------- —
		Р (п,	«*) Р(Ь + г, 7)
Р п + г =				р а	7)	Я	(В,7) (О < г < /«)•	(6.2.20)
Р п + г =	( я ,	а * ) +Р ( я ,		Я (от +	В,7) —	Я	(В,7) (О < г < /«)•	(6.2.20)
/?	( я ,	а * ) +Р ( я ,		«*)

рa 7)

Вслучае, если величина б не является целым числом, можно воспользоваться следующим приближенным приемом, который дает вполне удовлетворительную точность. Любое положитель ное число б может быть записано следующим образом:

8 =	[8] 4- (8j,	(6.2.21)
где [б] — целая часть числа	б,
{6} — дробная часть числа б.

223

Например, число 7,75 может быть записано так:

7,75 = [7,75] + {7,75} =7 + 0,75

После этого вычисляются вероятности ри (или рп+г) для двух

значений [6] и [6]+1. Затем производится линейная интерполя ция на величину {б}.

Расчеты показывают, что такая линейная интерполяция впол не достаточна. При больших значениях б (6 ^ 1 0 ) можно обой тись и без линейной интерполяции, а просто число б округлять до ближайшего целого числа и расчеты производить по этому числу. В дальнейшем будем предполагать, что число б является целым.

Найдем основные характеристики такой системы. Начнем с математического ожидания числа занятых каналов k :

		и	т
	Ь=--	5 ] bPk —
		*=0	г- 1
a*R in,	2*)		R (т +	о, у) — R (Ъ~ у)
a*R in,	2*)	-f пР (л, а*) ■-		* --------
____________________________Р( о, 7)_______					( 6.2.22)
					( 6.2.22)
R(n,	or) + Р(п,		«*) ---------- ---------------------

Вероятность обслуживания будет равна

Р обе

\хк

т

Найдем среднее число заявок, «ожидающих» обслуживания г

[см. (6.2.20) и (6.2.17)]:

	Р (п,	а*) У, Г ■		г)!
Г - ^ Г /W		(о +		г)!	-. (6.2.23)
Г - ^ Г /W	г	/? (т +			-. (6.2.23)
	г	/? (т +		о, 7) — R (о, *')
г = 1	и (л. «•) + р (л,	**>--------		’ !	,
			р (°>		т)

Для вычисления суммы, входящей в числитель выражения (6.2.23), применим метод дифференцирования рядов:

т		т	7Г?>!				+ 5, if)-/?О, Т)) _
	д	VI	7Г?>!		<>	{Р ('п	+ 5, if)-/?О, Т)) _
Г=1 (о + г)!	су	Г=1	(Ъ+ / )!		су	(	Р(о, у)	\|
У?(т 4 -о, 7)_/?(с),			7) /л	?Л	Y [	Р (т + о, 7)		(6.2.24)
	Р Я 7)		(Y-	3)	Y [		Р (о, 7)	(6.2.24)
	Р Я 7)						Р (о, 7)

224

Таким образом, окончательное выражение для среднего числа

заявок, находящихся в очереди на обслуживание, будет иметь вид

	\R (т 4- о, 7) — R (% 7)	) т 1	Р (т +	о, т)
	( Н	) т 1	Ь
г =	I________ Р ( о, 7 )_________		Р (	Т)	. (6.2.25)
г =			Р (	Т)	. (6.2.25)

Я (<-. 7)

Если по условиям задачи величина т достаточно велика, то

выражения (6.2.22) и (6.2.25) можно упростить, имея в виду следующие предельные соотношения:

Нт/?(/и + 3, у) = 1;

т-*- о?

(6.2.26)

Нт Я ( / / z - f - у) =0 .

Рис. 6.2.2

Вероятность того, что канал (любой) будет занят, опреде ляется из выражения

*з.к= — .	(6.2.27)
п
Вероятность того, что система будет полностью загружена,
определяется по формуле [см. (6.3.20)]:

		Kn-* = 2 j	P,l ^r	Рп		J J p (5 -'r ;	у) =
				Р (6,		J J p (5 -'r ;	у) =
				Р (6,		7)
		r = О				r=0
		1		nt		__
		.-о—i		nt		__
- d	h	r	■'’>	+ £ ' ’ (! + r; V) - J ]			P(r,	v)
'	’	* ' L r ^ O		r - 0		/” = 0
		= — ^ — [/?(/«			0 , y) — R { b — 1,		y)],	(6.2.28)
		P (».	7)

(при 6 = 0 полагать R { 6— 1, у) = 0).

Закон распределения времени неполной загрузки системы определяется с помощью графа состояний, изображенного на рис. 6.2.2. Систему дифференциальных уравнений, соответствую щую этому графу состояний, нужно интегрировать при началь ных условиях

/>я-1 ( 0 ) = 1 ; л ( 0) = о { к Ф п - 1).

(6.2.29)

Плотность распределения времени простоя системы будет

/п .с(* ) = *А,(*) ( * > 0 ) .

Среднее время неполной загрузки системы будет таким же, как и у системы с отказами и ограниченным временем пребыва ния заявки в системе [см. (6.2.14) и (6.2.15)]:

{ _ Р (я, а*)

1________ /?(л, а*)

(6.2.30)

'ц* Р (я, а*)

R (Я, а * )

Для определения закона распределения времени полной за грузки системы составим граф состояний, изображенный на рис. 6.2.3.

Рис. 6.2.3

Систему дифференциальных уравнений, соответствующую этому графу, нужно интегрировать при начальных условиях

/?„(0)=1; Д*(0) = 0 {k Ф п).

(6.2.31)

Плотность распределения времени занятости системы найдем из выражения

/н . з (О—/7!А Рп(£)-

Среднее время полной загрузки системы определим на осно

вании эргодического свойства
Т„.а=Т„.я ,	,	(6.2.32)
1-	Лп.з

где 7 н.з и Яп.з определяются из выражений (6.2.30) и (6.2.28) со

ответственно.

Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены в § 5.1 при выводе формулы (5.1.15), найдем среднее время занятости канала:

Рн.О^Н.О,

(6.2.33)

J J *

где Рил — вероятность наличия очереди в системе, которая опре

деляется из выражения

226

Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Смотрите также: