Документ: Прикладные задачи теории массового обслуживания., страницы 236-240

откуда

___________________Я (0, д,)___________

Я о =

.	я (Л , а * ) г

Я (Л, а ,)+ —— —■ R (п — Л + 9, 4-) — R( f ,						49 +
	Я(«р. 4)	L
	_______________ Я (0, а,)_______________
	+ P('? + n - h ,		Ф)---------R(m + -----------------0,		7) — /? (о, 7)1J
	я , - я (О,	а*)	Яо	( 0 < i< A ) ;
Рг-	я (Л. аг)	Р(<р+/ —Л, <Ь)			^	^ .
Рг-	------- Г" Яо----	hr,— г:---- L (Л ^у</г);
	Я (0, а*)		Я (<р,	ф)

(6.3.15)

(6.3.16)

/с о 1 7 4

(6.3.17)

f u l f i l .	P(b Ф)	?£<1± Л 7L (0 <	г <	т).	(6.3.18)
Я (О, а*)	P(b Ф)	Я (8, -()	^		v	'

В случае, если величины ср и 6 не являются целыми числами, можно применить следующий приближенный прием: сосчитать вероятности для величин [ср]; [ср]+1; [б]; [6]+1 и провести линей ную интерполяцию. Напомним, что [х] есть целая часть числа х.

Найдем характеристики системы. Среднее число занятых ка налов к [см. (6.3.16) — (6.3.18) и (4.1.17)] будет равно

k =S'-,>'+“( t					w+S p"')=7 ^ S					- (i'-:)+
	/=0	\ /	=	/i+ 1		r=1		/	V * V 1 =о
	Jr Tl	P ( f	l ,	OL j )	p			V	P(r + j —л, ф) +
	Jr Tl	—		a*)	——			V	P(r + j —л, ф) +
		Я ( 0,		a*)	!Я(<P,		Ф)	L i
								j=h+1	Юm	-\|
	, .	*.			Я (у	+	/t — А, Ф)		Юm	-\|
	P (A. a/)				Я (у	+	/t — А, Ф)		^	y)	=
	P(0,	at)		P°	P(f,	Ф) Я (5. 7)			P(3 + r,	y)	=
	P(0,	at)		P°	P(f,	Ф) Я (5. 7)			T - 1	J
									T - 1	J
	IPoA			а р + й		P (A, op			P(n — А + у,	ф) — /?(?, ф) ,
	• /? (A — 1,			а р + й			Я(0, a*)		Я(<р, ф)
P(0, *J)							Я(0, a*)		Я(<р, ф)
,	Я (A, <zp	Я(у + я— А, Ф)						Я (от + 8, у)- Я(В, 7)			. (6.3.19)
^	Я (0. ар Р°			Я (?, ф)					Я (8, 7)		. (6.3.19)
^	Я (0. ар Р°			Я (?, ф)					Я (8, 7)
Следовательно,			вероятность					обслуживани я заявки			будет
					Ро6с =			К .			(6.3.20)
					Ро6с =			К .

2 3 6

Найдем среднее число заявок г, находящихся в очереди [см. (6.2.23) и (6.2.24)]:

—	т	—	- /1	*	р (ср ^ /2_ ft ф)		„	т
			Р (h,	оiL
	г = 0			*			г = 0		Y )=

_ _ P ( h ^ d _			P(<f + n — h,i>) (			R(m + 5, 7) — R(<>. 7) ,			^	,
	P(0, a])		™P(<?, b ) P $ ,		7)1	Я(«.	7)		j	'

№ . .

Вероятность того, что канал занят, найдем из выражения

“ З . К '	J	(6.3.22

где Лопределяется из (6.3.19).

Вероятность того, что система полностью загружена, равна

__ Р (hi ai) P(<f 4- п — h, i) /? (m 4- 8, 7) — Л[(8. 7)

p‘* '=	Т Х л Л	?(ГТ )
r=0			(6.3.23)
			(6.3.23)
Среднее время нахождения заявки в очереди будет
	7< » = Т 9		(6324)
где г определяется	из формулы	(6.3.21).

Ввиду небольшого объема этого параграфа сводку основных формул приводить не будем.

§ 6.4. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ

И НЕОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ НА ОБСЛУЖИВАНИИ

Отличие системы, рассматриваемой в этом параграфе, от си стемы, рассмотренной в § 6.1, состоит лишь в том, что заявка проявляет «нетерпение», только находясь в очереди. Попав же на обслуживание, заявка «терпеливо» дожидается конца обслу живания. В качестве примера такой системы может рассматри ваться система дозаправки самолетов в воздухе: самолет может ждать дозаправщика ограниченное время, но, начав заправку, самолет-дозаправщик проводит ее полностью.

237

Другим примером является работа парикмахерской: клиент может быть «нетерпелив», пока стоит в очереди, но, дождавшись своей очереди, терпеливо ждет пока его побреют или постригут.

П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход /г-канальной системы массового обслуживания поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью к. Каждый канал обладает производительно

стью р. Взаимопомощь между каналами отсутствует: каждая заявка обслуживается одним каналом. Заявка, попавшая на об служивание, обслуживается до конца. Если все п каналов заня-

	А	А	А
Xn+r-l	* п + г	Xft+n-f • • • ^Л4Л\|-i	хп+т
np+rv		np+{r+i)v	rifi+mv
		Рис. 6.4.1
ты, то заявка	становится в очередь. Число мест в очереди т.

Находясь в очереди, заявка проявляет нетерпение. Параметр «нетерпения» при нахождении в очереди равен v. Если заявка застает в очереди все т мест занятыми, то она получает отказ.

Состояния такой системы мы будем связывать с числом зая

вок, находящихся в системе:		все они обслужи
хи — в системе имеется k заявок (0^ & ^ /г);
ваются; каждая заявка обслуживается		одним	каналом;
хп+г — в системе имеется п + r заявок	(O ^ r^ m ); п из них об
служиваются (каждая заявка	одним каналом)		и г ожи

дают в очереди.

Граф состояний системы приведен на рис. 6.4.1. Этот граф состояний с точностью до обозначений совпадает с графом со стояний системы, приведенным на рис. 6.2.1. Поэтому можно для определения вероятностей состояний воспользоваться формулами (6.2.19) и (6.2.20):

Рк==-	Р (*, а)		■(*=0,	1,	2,.

R(tl, а)		Р(т Ч- а, т) — R (с, 7)
	Р (п, а)		7)
		Р (°.
	Р (п,	Р (* + г, у)
		у)
Рпл-Г—		Р (°, У)	(r = 0,	1,	2, . .

R (п,	а) -г Р(п,	R(m -h q, у) — R (з, 7)
		а)
где		Р(*, У
			X
		а =
			— ;

«);

(6.4.1)

т ) ,

(6.4.2)

(6.4.3)

238

o= - 2 t ;	(6.4.4)
у = —	(6.4.5)
'V

Напомним, что при выводе формул (6.4.1) и (6.4.2) преди >- латалось, что величина о является целым числом. Если величина а не является целым числом, то можно проводить линейную

интерполяцию так, как это указывалось в § 6.2.

Среднее число занятых каналов определяется по формуле, аналогичной (6.2.22):

aR (n — 1, я) -f пР (л,	а) R (т 4 - a, 7) —	R ( J , 7 )
k = -	Р (°. 7)	(6.4.6)

R ( m - t - o , т ) — Я ( з . 7)

R ( п , а) + Р (Л, а)

р « 7 )

Вероятность обслуживания заявки найдем из выражения

Р обе :	ЦЛ	(6.4.7)

Среднее число заявок, находящихся в очереди, будет равно [см. (6.2.25)]:

R (т + a, f) — R (о, 7)	(Y - ° ) + Y [	Р (т 4- a, f)
Р (п, а)		р (а. 7)	. (6.4.6)
Р (о, 7)

Л (Л, а) + р (л, а) Я (ш + о, 7) — Я (о, 7)

я (О, 7)

Вероятность того, что канал занят, определим из выражения

*з.к= — ;

(6.4.9)

вероятность того, что система полностью загружена, равна

———	[/?(/и + о, у )-А ? (о -1 , у)]. (6.4.10)
Я (®, 7)

г = 0

Среднее время неполной загрузки системы определим по фор муле [см. (6.2.30)]:

	Я (л, я)
1_______ Я (л, а) _		1	Я (л — 1, а)	(6.4.11)
la	Я (Я, а )	Л\|1	Я (л , я)

Я (Л, а)

239

Среднее время полной загрузки системы будет

^ П .З ---- А	Ян.з	(6.4.12)
	1 — ЗТц.з

Среднее время занятости канала будет равно

_ 1 •	т	(6.4.13)
*з.к — ------ j	Рн.о * ^н.о»	(6.4.13)
ji

где рн.о — вероятность наличия очереди в системе; tH,0— среднее время наличия очереди.

Вероятность наличия очереди определяется по формуле

Pi -Ег - 1	рп+г---Рп	R (т 4- а, 7) — R(a, 7)	(6.4.14)
		Р (3» Т)

Среднее время наличия очереди определяется по формуле, ана логичной (6.2.35):

j_	R\(m + q, т) —	7)	(6.4.15)
X	Р (а> 7)

Среднее время простоя канала равно

Jl1.к ^3.к	^з.к	(6.4.16)
	^з.к
1

Среднее время ожидания заявки в очереди находим из фор мулы

A,4=Y

(6.4.17)

Закон распределения времени ожидания заявки в очереди можно определить по формулам (6.2.41) и (6.2.44), заменив в них величину р* величиной р, а вероятности ph и рп+г найти из

выражений (6.4.1) и (6.4.2) соответственно. Среднее время пре бывания заявки в системе равно

J = -^ — = - k + r - .		(6.4.18)
X	X

Ввиду небольшого объема этого параграфа не будем приво дить сводку основных расчетных формул.

За д а ч и и у п р а ж н е н и я

6.4.1.После выполнения задания самолеты производят доза

правку в воздухе. В районе дозаправки	постоянно дежурят
4 самолета дозаправщика. Среднее время	дозаправки одного

240

Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Смотрите также: