Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Среднее число занятых каналов

k = — Робе.

н- Среднее число заявок в очереди

Р

R ( п + Ь, 7) — R ( 6, 7)

( П , « * ) |-

г =

Р ( 5 . Т)

 

Л ( п , „ • ) + Р < „, . . ) « . ( '» + '■ T ) - « R 1 )

 

Л ( в , 7 )

Вероятность того, что канал занят:

 

 

Т

 

 

тсз . к ~ ----- .

 

 

 

П

 

Вероятность наличия очереди

 

 

 

 

Л (/и

+

5, 7) — R (5 , 7)

р‘ ° ~ р"

 

т к ъ

•

Среднее время наличия очереди

 

 

 

1 / ? ( т

+

5,

7 ) — /? (5,

1 )

^н.о

 

я (5, Т)

 

 

 

 

Среднее время занятости канала

 

 

^З.К--

 

“I- Р н . о ^ н . о *

 

Среднее время простоя канала

 

 

 

 

i _I

 

1

Яз.к

 

* П . К ------^ з . к

 

 

 

 

Среднее время пребывания заявки в системе

J==j ± ±

За д а ч и и у п р а ж н е н и я

6.2.1.Показать, что система массового обслуживания с ожи­ данием и «нетерпеливыми» заявками имеет большую пропускную способность, чем система массового обслуживания с отказами и нетерпеливыми заявками при одинаковых параметрах п, р, п, X (параметры т и v могут быть любыми).

231

§ 6.3. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ, ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ

ИВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

Вотличие от систем, рассмотренных в этой главе, когда одну заявку мог обслуживать только один канал, в данном параграфе будет исследован случай взаимопомощи между каналами ана­ логично тому, как это было сделано в § 4.4.

П о с т а н о в к а з а д а ч и . Имеется /г-канальная система массового обслуживания; каждый канал имеет интенсивность потока обслуживаний р,. Заявка доступна к обслуживанию лю­ бым каналом. Если в системе находится одна заявка, то она принимается к обслуживанию и обслуживается одновременно I

каналами. При этом предполагается, что суммарный поток об­ служиваний будет иметь интенсивность /р. Если вновь поступив­

шая заявка застанет в системе i заявок

(i= 0, 1, 2, ...), при этом

( i+ \) l^ n , то эта вновь поступившая

заявка принимается к

обслуживанию и обслуживается одновременно I каналами. Если

вновь поступившая заявка застает в ней / заявок и при этом (j+ l)l> n и /</г, то эта заявка будет принята к обслуживанию. В этом случае часть заявок может обслуживаться I каналами, а

часть — меньшим, чем /, числом каналов. В обслуживании всегда будут участвовать все п каналов. Заявки в системе находятся

ограниченное время («нетерпеливые» заявки). Параметр «нетер­ пения» равен г].

Если вновь поступившая в систему заявка застает все каналы занятыми, она становится в очередь. Как только освободится один из каналов, заявка будет назначена на обслуживание, если за время ожидания в очереди она не покинет систему. Таким об­ разом, уход заявки из очереди может быть по двум причинам: либо заявку возьмут на обслуживание, либо она уйдет из очереди, не дождавшись обслуживания. Всего имеется т мест в очереди.

Если заявка находится в очереди, то ее параметр «нетерпения» будет v.

Если вновь поступившая заявка застает в системе п обслу­ живаемых заявок и т заявок в очереди, то она получает отказ. В частном случае при 1=п получим систему с полной взаимопо­

мощью между каналами.

Состояния системы будем классифицировать по числу заявок,

находящихся в системе массового обслуживания:

 

Xi — в системе имеется i заявок (*'= 0, 1, 2,

Л, где h=

J

— целая часть числа -y-j , каждая заявка обслуживается

одновременно I каналами с общей производительностью

/р;

Xj — в системе имеется / заявок (/ = /z+l, h + 2, ..., п)\ в обслу­ живании этих j заявок участвуют все п каналов, распреде-

2 3 2

ляясь более или менее равномерно между всеми j заяв­

ками;

хп+г — в системе имеется п + r заявок, п из них обслуживается п

каналами

и г стоят в очереди

на обслуживание (г=0,

1,

т).

 

 

Граф состояний такой системы показан на рис. 6.3.1. На этом

графе величина

р* = ц-И]. Читателю

предоставляется возмож-

 

 

j* / ♦ / [ • * • [•**-/**1-*л

'

 

и+Шц+П)

йЦр+тр

 

П\1+(Ы т\

к

\

A

A

 

 

x i

Xj ^ • • • x n-t

x n

X n+f

n p ^ h + j)7)

лц+(/и-;+/1Л

я(р+г|)

 

 

 

rzp#* r v

n | i* + ( r * 7 )v

n\i*+i71V

Рис. 6.3.1

ность составить систему дифференциальных уравнений, соответ­ ствующую этому графу состояний.

Проанализируем подробнее случай, когда величина Л=-^*

является целым числом, равным h. Введем обозначение

— |1*.

(6.3.1)

С учетом этого обозначения и принимая

во внимание, что — =

 

I

= h — целое число, граф состояний системы со взаимопомощью

будет иметь вид, представленный на рис. 6.3.2.

Заметим, что с точностью до обозначений параметров потоков и номеров состояний граф на рис. 6.3.2 левее состояния хп (включая само состояние хп) совпадает с графом, изображенным

на рис. 6.2.1. Следовательно, для нахождения вероятностей со­ стояний системы со взаимопомощью можно воспользоваться фор­ мулами (6.2.3) и (6.2.4):

Рг

Ро (0 < i < h);

(6.3.2)

(«У‘

)J -h

(6.3.3)

Р S= 7~, Ро-

{h < j < я),

h\

j-h

 

rj-h

П

 

 

k=l

 

233

где

 

*

х

X

(6.3.4)

 

а/

fy’+ ’i

*

 

 

f1/

 

 

 

 

 

Е Й Е }

Xi-i

 

 

 

Ht

ф !

(t+/)K

 

*И +п

V '

*y

 

 

*пч •••

Ьц',*Ц-П)Т1 hy**{j*1-h)i\

7?pL%rv

rzfi%(r-f/jv

np%mv

 

Рис. 6.3.2

 

Заметим также, что

конец графа

правее состояния хп на

рис. 6.3.2 такой же, как и конец графа на рис. 6.2.1 правее состоя­ ния хп. Поэтому

р п +

г = р п•

(О < г < m),

(6.3.5)

где

 

 

 

 

(«;>*

Х Я - Л

(6.3.6)

 

 

Рп

Л! /V

 

Для упрощения дальнейших выкладок введем обозначения:

 

X

;

(6.3.7)

v = —

 

V

 

 

8 = - ^

 

(6.3.8)

 

V

 

■

X

;

(6.3.9)

6 =

—

*)

 

. .

.

(6.3.10)

234

С учетом этих обозначений получим [см. (6.3.2) — (6.3.6)]:

P i = - j - P o (0 < /< Л ) ;

(*/)л

фУ~л

(6.3.11)

Л! ^

( Л < у < « ) ;

 

П (? + *)

 

 

k=l

 

Рп+Г =

------ рп(0 < Г < /и).

(6.3.12)

П

(6 + k)

 

к=1

Для простоты будем считать величины ср и б целыми числами. В этом случае получим [см. (6.2.16) и (6.2.17)]:

P j = ^ - P o

f> (9+ J-b.b)

{ll < J < п).

(6.3.13)

h\ ™

(ср, 6)

v

v

}

Рп.г= р п£ ^ ± Л 2 1 { 0 < г < п1).

(6.3.14)

 

р (°. 7)

 

 

 

Величину ро найдем, исходя из нормировочного условия:

^

2

Pn+r— !•

1=0

j=h+1

/•=1

Используя выражения (6.3.2), (6.3.13), (6.3.14) с учетом фор­ мулы (6.2.18), получим

 

L/=0

 

 

 

 

j

* * %

= * * +

 

 

 

 

 

)=h+l

 

 

 

 

 

* 1

 

P('i + n — h, Ф)

т

(6+

г,

т)

 

(д/>

 

y i Р

 

 

 

 

Р(<Р,

ф)

 

г=1

р (5,

т)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Рое +*/

.R { h ,

a*) 4 - Р (Л,

а » )*

(я

/г + Я(<р,

4)

^ .(У - ф>

,

г./,.

.»ч Я (?4 - и — Л, Ф)

Я (т + 6, 7) — Л (6, Т ) 1 _ 1

+Р(А' а'>—

---------г

1.

 

 

235

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/83058

Смотрите также:

2014 biblioonline ru
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»