Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

самолета равно — = 10 мин. Плотность потока самолетов, нуж-

щийся в дозаправке, застает все заправщики занятыми, он может некоторое время ожидать освобождения заправщиков в

районе дозаправки. Среднее время ожидания дозаправки — =

V

= 20 мин. Самолет, не дождавшийся дозаправки, производит по­

садку на запасной аэродром. Если самолет дозаправлен, он производит посадку на основной аэродром. Определить вероят­ ность того, что отдельно взятый самолет будет дозаправлен, и другие характеристики системы, обеспечивающей заправку са­ молетов в воздухе: среднее число дозаправляемых самолетов, среднее время ожидания дозаправки.

Р е ш е н и е Систему, обеспечивающую дозаправку самолетов в воздухе,

можно рассматривать как систему массового обслуживания, разобранную выше. Параметры этой системы равны:

п = 4 ;

>•=0,4—-— ;

мин

v = 0 ,0 5 —-— ;

мин

т = оо (так как нет никаких ограничений на очередь);

аХ =•4;

V

V

Среднее число дозаправляемых самолетов, вычисленное по формуле (6.4.6), равно

А =3,93.

Вероятность того, что самолет будет дозаправлен, равна

Яобс= ± £ - = 0,834.

241

Среднее число самолетов, ожидающих дозаправки самолета в воздухе, определяется по формуле (6.4.8):

7 = 2,90,

т. е. около трех самолетов будут ожидать в воздухе дозаправки. Вероятность того, что самолет покинет район дозаправки, не

заправившись, равна

Яобс = 1 - Я обс = 0,166.

Среднее время ожидания самолета в «очереди» на заправку будет равно [см. (6.4.16)]

Среднее время, потребное на осуществление дозаправки, оп­ ределяется по формуле (6.4.18):

t = -^— = ■г + — = 17,1 мин.

XX

6.4.2.Производится дезинфекция (специальная санитарная обработка) сельскохозяйственной техники, прежде чем ее допус­ тить к работам в данном районе. Специальная обработка произ­ водится для того, чтобы в данный район не была занесена инфек­ ция (например, ящур). Любая машина может быть обработана

водном из п= 10 пунктов дезинфекции. Пропускная способность

каждого пункта ц = 0,1 —— . Каждая машина, прошедшая дезин-

мин

фекцию, остается зараженной с вероятностью p i= 0 ,l. По усло­ виям обработки каждая машина может ожидать дезинфекции (находиться в очереди) в среднем v = 20 мин. Машина, попавшая на обработку, проходит ее до конца. Определить вероятность Q

того, что отдельная машина, поступившая на обработку, останет­ ся зараженной, если среднее число машин, поступающих на об­

работку в единицу времени, равно Х=1—!—.

мин

Ре ш е н и е

Вэтой задаче систему дезинфекции машин можно рассмат­ ривать как систему массового обслуживания, исследованную выше в этом параграфе. Найдем параметры системы:

/г= 10;

а = — = 10;

242

Ли.

о = — = 20;

Y = — —20;

m — оо (так как нет никаких ограничений на очередь).

Тогда среднее число обслуживаемых машин будет опреде­ ляться по формуле (6.4.6):

6 = 8,8.

Вероятность того, что машина, пройдет обработку, будет:

Я » 5 с = ^ = 0,88 .

Полная вероятность Р того, что машина будет продезинфе-

цирована, равна:

Р = Робс{\ —Р\) —0,792.

Искомая вероятность Q того, что машина останется зараженной, будет равна:

Q= 1 — Я = 0,208.

§ 6.5. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ НА ОБСЛУЖИВАНИИ

ИНЕОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ЗАЯВКИ

ВОЧЕРЕДИ

Вэтом параграфе будет рассмотрена система, в которой заявки проявляют «нетерпение», находясь только на обслужи­ вании. Примером такой системы может служить конвейер с на­ копителем. В накопителе (в очереди) детали могут находиться неограниченное время. Из накопителя детали поступают на кон­ вейер. Время же обработки детали на конвейере ограничено вре­ менем прохождения конвейера через рабочее место.

П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход /i-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с плотностью X. Каждый канал обладает производительностью р.

Взаимопомощи между каналами нет: каждая заявка обслужи­ вается одним каналом. Находясь на обслуживании, заявка про­ являет «нетерпение». Параметр «нетерпения» равен х\. Если все п

каналов заняты, заявка становится в очередь, где ждет неограни­ ченное время (в очереди заявки ведут себя «терпеливо»). Число мест в очереди т. Если заявка застает все места в очереди за­

нятыми, то она получает отказ.

Состояния рассматриваемой системы будем опять связывать с числом заявок, находящихся в системе:

243

Xh — в системе имеется k заявок ( O ^ k ^ n ) ; все они обслужи­

ваются; каждая заявка обслуживается одним каналом; хп+г — в системе имеется п + r заявок ( 0 < /'^ т ) ; п из них обслу­ живается (каждая заявка одним каналом) и т ожидают

в очереди.

Граф состояний рассматриваемой системы показан на рис. 6.5.1. Величина р* на этом графе определяется из выражения

Этот граф с точностью до обозначений совпадает с графом си­ стемы, изображенном на рис. 5.1.1. Поэтому для определения

Рис. 6.5.1

вероятностей состояний рассматриваемой системы можно вос­ пользоваться результатами, полученными в § 5.1:

Во всех выражениях этого параграфа предполагается, что х*=тМ. При х* = 1 получается неопределенность, которую чита­ телю предлагается раскрыть самостоятельно (см. § -5.1).

Вероятность обслуживания равна вероятности того, что вновь прибывшая заявка не получит отказа (1 — рп+т), умноженной

244