Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		Рп	^ р	(3 ^ г ,	>■) =
	р	(S, 7)
г = \			г =1
__	R (т + ь, 1) — R а , 7 )				(6.2.34)
Рп		ГЪ/'	\	»
		Р (". 7)
tH.о — среднее время наличия		очереди.

Среднее время наличия очереди t „ . 0 определяется с помощью графа подсистемы X, приведенного на рис. 6.2.4.

				Рис. 6.2.4
В	соответствии		с формулами (6.2.3) — (6.2.6) вероятность
Р п + г	для стационарного режима будет определяться по формуле
		Р п + г — р п ■		\г	-(г = 1, 2 ,.. т).
		Р п + г — р п ■			-(г = 1, 2 ,.. т).
			-< П	( 5 + J )
			7=1
Величина рп определяется				из нормировочного условия
			Рп	тп	Рп+г—1,
			Рп		Рп+г—1,
				Г —	\
откуда					1
		Рп =			1
		Рп =			—1
			1+ S чг		П (М -Л
				r=i	U = i
При целом положительном значении 6 получим [см. (6.2.18)]
	Рп=		1	-1	R(m + l) — R(6, т)
	Рп=	тп	Г г	-1	R(m + l) — R(6, т)
		2 /	п ( « - л		1 +
		г=1	и=1		Ж®. 7)

Я (®, 7)

R ( т + 5. 7) — R (о — 1, 7 )

Р+ г, 7)

Ял+л— R ( m + Ъ, 7 ) — R ( b — 1, 7 )

227

Среднее время пребывания в состоянии хп (см. граф на

рис. 6.2.4) будет

Следовательно, среднее время наличия ^очереди, т. е. пребы вания системы в группе состояний хп+\, ..., хп+т, примет вид

	7 „ .0 = 7 ~	1 Т=.£д- =—		L ^ ( т + 5, т )-R<bLy		( 6 . 2 . 3 5 )
		Рп		Р (S, ТГ)
	Среднее время простоя канала найдем на основании эргоди-
ческого свойства
				л з.к		(6.2.36)
		^П.К--^з.к' 1 Лз.к				(6.2.36)
		^П.К--^з.к' 1 Лз.к
где	jt3.K определяется из выражения (6.2.27).
	Не повторяя всех рассуждений, которые проводились в § 5.1,
запишем выражение для среднего времени					пребывания	заявки
в очереди:
		t	= —			(6.2.37)
		^04		^
где	г — среднее число заявок,			находящихся	в очереди,	опреде
	ляемое выражением		(6.2.25).
	Для отыскания	закона распределения времени пребывания

заявки в очереди введем в рассмотрение гипотезу, состоящую в том, что в системе к моменту прихода очередной заявки имелось в очереди г заявок (/*=О, 1, ..., т). Вероятность этой гипотезы равна по определению /?п+г. В этом случае время нахождения вновь поступившей заявки в очереди будет определяться из вы ражения

Гг = гп1п(Ог, 7\),

где 0Г— время, потребное для освобождения хотя бы одного канала при условии, что в очереди имеется г заявок (будут ли эти заявки обслужены или нет, нас не инте ресует) ;

7V— время пребывания заявки в очереди в случае, если эта заявка не будет передана на обслуживание.

Случайная величина 7\ подчинена показательному закону с параметром v[/v (/)= v e _v* ( t ^ 0)]. Случайная величина 0Г пред

ставляет собой сумму независимых показательно распределен

ных случайных величин

0r = 2 ? V + b	(6.2.38)
/=о

228

с параметрами яр,*, яр* + л>, яр*+г\’ соответственно. Извест

но, что закон распределения суммы независимых показательно распределенных случайных величин является обобщенным зако ном Эрланга г-го порядка и в данном случае имеет вид [19]

f \ (*) = П	(«1А* + /v) £		(ft > 0 ,\. (6.2.39)
г = °	; = о - / П	(l—j)	Г > °
	1=0	(1+1)
При г = 0 имеем
	Ал») = п^ег*** (& > 0).		(6.2.40)

Тогда закон распределения минимума двух независимых слу чайных величин можно найти из выражения [19]

i=o (i+J)

При г= 0 получаем закон распределения минимума двух не зависимых показательно распределенных случайных величин с параметрами яр* и v соответственно. Этот закон также будет показательным:

/ 0(Q= (/ip* + v)e-(^*+v)/ (/> 0 ) .

(6.2.42)

Условное математическое ожидание времени нахождения заявки в очереди при условии, что в очереди имеется г заявок, равно

\ t f r{t)dt=	' + 1	" (г = 0, 1, ... , /« - 1 ) . (6.2.43)
J	пр* + (г +	1) ч

Безусловную плотность распределения времени нахождения заявки в очереди можно найти следующим образом:

п + т — 1 л—1

/ ( 0 = У} /гОО/^+г+ЧО S Рк~Г Рп+ т	( / > 0). ( 6.2.44)

Наличие в составе плотности f(t) дельта-функции указы

вает на то, что время ожидания в очереди представляет собой смешанную случайную величину с одним скачком при t= 0. Ти

пичный график функции распределения времени ожидания пока зан на рис. ь.2.0.

Среднее время пребывания заявки в системе определяется

по формуле
1 = -± ±кJ — ;	(6.2.45)

величины k н г находим по

формулам (6.2.22) и (6.2.25) соответственно.

О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы

Вероятность того, что занято ровно k каналов и очереди нет:

Р ( k , а * )

R (т + Ь, i) — R (Ь, т)

R (Л, а * ) + Р ( п , а * )

Р (*■ V

где

а = ■

П<х*

целое число;

Y = .

Вероятность того, что все п каналов заняты обслуживанием п заявок и в системе есть еще г заявок в очереди:

	Р (л,	Р	(В + г, т)
	Р (л,	а*)	Р (».		7)	(г - 0 , 1 , 2 , . . . » .
Рп+Г-			Р (».		7)
Рп+Г-
	R ( n , о*) + Р ( п ,	R (т 4-5, 7) — R (6, ■/)
	R ( n , о*) + Р ( п ,	а * )			Р(Ь> 7)
					Р(Ь> 7)
Вероятность обслуживания заявки
	aR (п— 1, а) +			пР (П, а*)		R (т 4- о, 7) — #(о, у)
р	aR (п— 1, а) +			пР (П, а*)		Я (о, 7)
р	_JL					Я (о, 7)
•	обе — .	а*) +	Р	(л,	R (т -f Ь, 7) — R (S, 7)
	R ( n ,	а*) +	Р	(л,	а * ) -------

230

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/83058

Смотрите также:









2014 biblioonline ru
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»