Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

По формуле (7.2.8) можно найти вероятность того, что все са молеты будут находиться в эксплуатации.

Предварительно определим значение следующих функций:

——————^^ = 3,90; P(ft, А )= 0,271;

Р ( 0, Л)=0,135; Р{т, *)=0,0888;

R{m —h — 1, х) —0,270.

Следовательно:

/V R ( m , h , p ([))

------------- u _

am 4(1)

= 0,100.

Р (h, h) R ( m — h — 1, у)

+ ------------------------------

P ( 0, h ) P ( m , y.)

Среднее число обслуживаемых самолетов [см. (7.2.12)] равно

7 = 2,80.

Среднее число самолетов, ожидающих обслуживания [см. (7.2.13)]:

г = 0,937.

Среднее число обслуживаемых и ожидающих обслуживания са молетов (т. е. самолетов, которые не находятся в эксплуатации)

7 = 7 + 7 = 3 ,7 4 .

Вероятность того, что отдельно взятый самолет будет нахо

диться в эксплуатации:	_
5 = 1 ------ =0,813,
	т
т. е. около 81% самолетов	будет эксплуатироваться, а 19% —

ожидать ремонта или находиться в ремонте. Среднее время простоя самолета

t = t	- — -	1,15 суток.
П	£

Среднее время ожидания ремонта найдем по формуле (7.2.18):

^оч ~~9,36 суток,

откуда среднее время ремонта самолета будет

to6c= t n —t04 = 0,79 суток.

294

7.2.2. Условия задачи такие же, как и предыдущей. Требуется определить, насколько взаимопомощь увеличивает эффективность обслуживания.

Р е ш е н и е

Для решения задачи найдем сначала характеристики обслу живания без взаимопомощи, для чего применим формулы § 7.1.

По формуле (7.1.9) найдем вероятность того, что все само леты будут эксплуатироваться, имея в виду, что при отсутствии взаимопомощи параметры системы следующие:

//2= 20; п = 2; |х=1 — !— ;

сутки

Х =0,2 — -— ;

сутки

0,2

Р— ' 1 +0. 2 = 0,167;

q ==-0,833;

Z= 20.

Отсюда [см. (7.1.9)]

/?0 = 0,0205.

Среднее число обслуживаемых самолетов [см. (7.1.13)]

£ = 7 = 3 ,1 3 .

Среднее число самолетов, ожидающих обслуживания, найдем по формуле (7.1.14)

г = 1,01.

Среднее число обслуживаемых и ожидающих обслуживания самолетов

l ^ k A - r = A,\A.

Вероятность того, что самолет будет находиться в эксплуа тации:

; = 1 - — —0,793.

Сравнивая системы со взаимопомощью (задача 7.2.1) и без взаимопомощи, видим, что в данном случае взаимопомощь не приводит к серьезному увеличению эффективности обслуживания.

295

§7.3. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СПОЛНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

П о с т а н о в к а з а д а ч и . В отличие от системы, рассмот ренной в § 7.2, где техническое устройство (ТУ) могло обслужи ваться несколькими, но не всеми каналами одновременно, в этом параграфе будет рассмотрена система, в которой возможна вза имопомощь между всеми п каналами. Например, если имеется

две бригады, обслуживающие самолеты, то один отказавший са молет будут обслуживать сразу две бригады, два самолета бу дут обслуживать тоже две бригады: каждая бригада будет об служивать по одному самолету. При этом предполагается, что

т \	(т-к+1)\	(т -к )\	{т-п+1)Х	(т - п ) \
n\i	n\i	яр.	n\i	пу.
	[т-п-г+1)\	( т - п - п \
	*v-	пр	nfj.
	*v-
		Рис. 7.3.1
если одно ТУ обслуживается сразу h			каналами, то	производи

тельность увеличивается ровно в h раз. Занятые каналы обслу

живания могут распределяться произвольным образом между обслуживаемыми ТУ, лишь бы все они участвовали в обслужива нии. Таким образом, если отказало хотя бы одно ТУ, то все п ка

налов заняты обслуживанием. В остальном рассматриваемая си стема работает так же, как и система, исследованная в §7.1 и 7.2.

При анализе такой системы массового обслуживания введем

следующие состояния:
х0 — все ТУ работают; каналы обслуживания свободны;
хк — отказало ровно k технических устройств				(k = 1, 2, ..., /г),
	все эти k технических устройств обслуживаются /г ка
	налами, которые распределяются приблизительно рав
	номерно между каналами;
хп+г — отказало ровно		/г + r технических устройств (r = 0,			1,
	2, ..., (т — п))\	из этого числа	ТУ п обслуживается		п
	каналами и г ожидает в очереди на обслуживание.
Граф	состояний рассматриваемой		системы	показан	на
рис. 7.3.1.
Этот	граф состояний	с точностью до	обозначений совпадает

с графом состояний системы, рассмотренной в § 7.1 и изобра женной на рис. 7.1.3. Следовательно, при определении вероятно стей состояний этой системы можно воспользоваться формулой (7.1.29):

296

	(7.3.1)
pn+r=-P£ m (n + r)''/-) (r=0, 1, 2,.	m - n ) , (7.3.2)
Л(«. x)
г д е
/2JJL	(7.3.3)
X = —r~	(7.3.3)
Среднее число простаивающих ТУ будет	равно [см. (7.1.30)]

ЛТ П — ' П

/==2	+	(/г+ г) /7'>+'= "г- х 0 - А > ) -	(7.3.4)
*=0		r=1

Среднее число обслуживаемых ТУ можно найти по формуле

5 = £ ^+ й S3/ W =			-----Ж*. г)	\ШY I ‘kP (т —k,	X) f
	&=0ft	г=1		L*=o
	т—п
+	/t	P ( m - ( n + r ) ,	x)	{/71 [/? (///,	X) —
			Я(«, у.)
- R	( m	- n - 1, x ) ] - x [ ^ ( / « - b x ) - R ( m - n - 2 ,			x)] +
		4-nR(in —n — 1,		x)K	(7.3.5)
Для нахождения среднего числа ТУ, ожидающих в очереди г,
можно воспользоваться равенством
		I— s-j-r,
откуда
		1 = 1 - 1 .			(7.3.6)

Вероятность того, что ТУ будет работать, найдем по формуле

5 = 1 - —	= — (1 -Р о)-	(7.3.7)
т	т

Среднее время простоя будет [см. (7.1.34)]

	1	1 - „ (1 - л )
1 = 1	1	ТП	. (7.3.8)
l n l p £			пр. 1 — />о
			пр. 1 — />о

ТП	о)

297

Плотность распределения времени ожидания в очереди най дем по формуле, аналогичной формуле (7.2.17):

/ о,М = 8 (0 5 ] л +	£	(7.3.9)
k = 0	r = О

Среднее время ожидания в очереди

	~	m—i.—1
	<01= ^ / о ч (* )< « =	Рп+r ^ - Л\|- ^ )Г er”*dt =
		г = О	О
	т —п —1	г-т—п		т—п—
=	Б	Y i r p n+r- i m - n , ) p m+		£ рп+г
	г=0	Lг=0		г=о
	1	тп—<	Р( т — (п + г); х)
	1		Р( т — (п + г); х)
		г = 0	(«. X)
		г = 0
	Т—(т — п — 1)рт4 R(m—n, х)			(7.3.10)
			Л(«. X)

Среднее время обслуживания одного ТУ можно найти по фор муле

*обс= *„ —*оч-

(7.3.11)

Ввиду небольшого объема этого параграфа не будем приво дить сводку основных расчетных формул.

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

7.3.1. Рассмотрим те же условия, что и в задаче 7.1.2, но при этом допустим наличие взаимопомощи между всеми каналами. Параметры системы остаются теми же. Найти те же характери стики системы, что и в задаче 7.1.2.

Р е ш е н и е

По формуле (7.3.1) найдем вероятность ро того, что ни один

самолет не будет нуждаться в проведении ремонтных работ:

Ро	Р (т, х)		0,152.
	'<(т,	х)

По формуле (7.3.5) находим среднее число ремонтируемых самолетов

s = 2,18.

298

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/83058

Смотрите также:









2014 biblioonline ru
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»