Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

q = \ — p\

Вероятность того, что отказало ровно k ТУ и все они обслужи

ваются (очереди нет):

	Л=	В (т , k, р)			£ = (° .		1.	2 , . . /г).
			Ро
Вероятность		того, что отказало				(д + r)		ТУ — п из них обслу
живается и г ожидает в очереди:
Р п + г —	Р (п,	п ) Р ( т — (п +		г),	х)	р 0	(r = 0, 1,..		т —п).
		Р ( 0, п ) Р ( т , х)

Среднее	число		обслуживаемых			ТУ	(среднее число занятых:
каналов)
		кВ (т, k, р)			Р (/?, ri)R(m — п — 1,				X)
			qm	1		Р (0, п) Р (т, у )
Среднее число ТУ, ожидающих в очереди:
Г = Р ~	- " У " , , l ( m - n ) R ( m - n , 7 ) - 7 R { m - n - 1, * ) ] .
Р (0,	п) Р (т,		/.)

Среднее число простаивающих ТУ

l = k-v-r.

Вероятность того, что ТУ будет простаивать (коэффициент простоя техники):

Среднее время безотказной работы ТУ

/р	I
Среднее время простоя ТУ
t = t n	L	1
с - :	х	т—7

285

Среднее время пребывания ТУ в очереди

1 - С f*

За д а ч и и у п р а ж н е н и я

7.1.1.На аэродроме имеется 24 самолета и один заправщик

горючим. Заправка длится в среднем — =0,5 часа. Полеты

и-

спланированы так, что каждый самолет совершает в среднем два вылета в сутки. Определить среднее время простоя самолета, связанное с его заправкой горючим, если после каждого полета он требует заправки.

Р е ш е н и е

Рассматривается замкнутая система СМО при n = l ; т = 24;

ix= 2

час час

Следовательно:

■/= -!!£- = 24.

Далее, вероятность того, что заправщик будет свободен, равна [см. (7.1.29), (1.5.31), (1.5.32)]

	PQ--	Р ( т , у)		Р (24, 24)
	PQ--	Л (я ,	X)	Ж 24 , 24)
Ф*	24 + 0,5 — 24 \		_	/ 23 +	0,5 — 24	\
Ф*	V24	/		\	У й	/ = 0,149,
	V24	/		\	У й	/ = 0,149,
	Ф*	24 + 0,5 — 24
	Ф*		V24
			V24
где
	Ф* (х)--				dt

V2л

—нормальная функция распределения, таблицы которой приве дены в [2].

Заметим, что точное значение р ^т' /-- = 0, 1 4 7 .

Я Ш , г)

Среднее число заправляемых и ожидающих заправки самоле тов будет равно [см. (7.1,32)]

7 = / / г - х [ 1 - р о 1 = 2 , 7 .

286

Среднее число самолетов, ожидающих заправки [см. (7.1.31)]:

г = 7 - к = Г - ( 1 - Ро)= 1,85.

Среднее время простоя самолета

/п= — Г------ ---------	1 1 = 2,04 часа,
п X U ( l - * 0)	J

а среднее время ожидания заправки равно

*оч=^п —А)бс = 2,04 —0,5=1,54 часа.

7.1.2. В гараже имеется 30 автомашин и три станции обслу живания, где проводятся профилактические и ремонтные работы.

В среднем каждая машина в течение месяца трижды нуждается в проведении ремонтных работ. Машина при выполнении ремонт ных работ находится на обслуживании в среднем одни сутки. Оп ределить вероятность того, что отдельно взятая автомашина не будет нуждаться в проведении ремонтных работ, и найти сред нее время, потребное для проведения ремонтных работ и ожида ния этих работ.

Р е ш е н и е Опять рассматривается замкнутая система СМО с парамет

рами

п = 3; /7z = 30; \ = -----=0, 1	1	!^= 1	1
п = 3; /7z = 30; \ = -----=0, 1	сутки	!^= 1	сутки
30	сутки		сутки
Имеем:

Х = ^ = 3 0 ;

	^ =	1 — /7= 0,09;
Щт,	п, р)	и
		__	Ста* = 12,4;
		ь=о

Р (п , п) R ( m — ;i — 1, 7 ) = Jg 5
Р(0, п)Р{т,			у )
По формуле (7.1.12)	находим
Ро= R (от, п, р)		1	= 0,0336.

	Р (п, п ) Р ( т — п — 1, х)
qm	+	Р (0,	п) Р (т, у.)

287

По формуле (7.1.13) определим среднее число занятых каналов к:

k = 2,48.

Среднее число автомашин, ожидающих ремонтных работ, будет равно [см. (7.1.14)]

г = 2,09.

Среднее число автомашин, нуждающихся в проведении ремонт ных работ, будет

I = k + г = 2,48 + 2,08 = 4,56.

Вероятность того, что отдельно взятая машина не будет нуж даться в проведении ремонтных работ, равна

5 = 1 —С = 1 ----- — =0,848,

т . е . в с р е д н е м о к о л о 8 5 %		в с е х м а ш и н н е б у д у т н у ж д а т
в е д е н и и р е м о н т н ы х	р а б о т .
Среднее время проведения ремонтных работ и ожидания ре
монтных работ будет равно
/ п—	1 7 ^	= 1 , 79 суток.
Среднее время ожидания в очереди будет
^оч“	^и-----—=--0,79 суток.

§7.2. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СЧАСТИЧНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

В отличие от системы, рассмотренной в предыдущем пара графе, где техническое устройство (ТУ) могло обслуживаться только одним каналом, в этом параграфе будет рассмотрена сис тема, в которой возможна частичная взаимопомощь между ка налами. Например, если имеется шесть групп обслуживания са молетов, то один отказавший самолет будут обслуживать сразу две группы; два отказавших самолета будут обслуживать уже четыре группы: две группы — один самолет, две группы — второй самолет. Если в обслуживании нуждаются три самолета, то все они будут обслуживаться, каждый двумя группами. Если же в обслуживании нуждаются четыре самолета, то все шесть групп будут принимать участие в обслуживании самолетов; при этом два самолета будут обслуживаться каждый двумя группами и два самолета будут обслуживаться каждый одной группой и т. д.

288

Предполагается, что при обслуживании одного самолета двумя группами производительность увеличивается вдвое.

П о с т а н о в к а з а д а ч и : Имеется т одинаковых ТУ,

каждое из которых может в случайные моменты времени отка зать (выйти из строя). Поток отказов каждого ТУ пуассоновский с плотностью А. Каждое отказавшее ТУ может обслуживаться од ним из п каналов. Плотность пуассоновского потока обслужива-

ний каждого канала р. Если отказало не более

А = [ у ]

(7.2.1>

технических устройств, то каждое отказавшее ТУ обслуживается одновременно I каналами (напомним, что [х] — целая часть чис ла х). При этом производительность обслуживания каждого ТУ

равна /р. Величина / равна максимальному числу каналов, кото рое может обслуживать одно ТУ.

Если число отказавших технических устройство / лежит в пределах

// < у О ,

то в обслуживании участвуют все п каналов, распределяясь бо

лее или менее равномерно между всеми / отказавшими ТУ, при этом каждое ТУ обслуживается одновременно не более чем / ка налами.

т\

(m-i+f)k

(m-i)A

(m-h+f)A (m-h)A

	яр	яр		яр.	яр.
	(/л-я-г+лл {т-п-г)К___			____	Л
.	. . xn*r-f	Хп+Г	ХП*Г+/ • • •		xm
	яр		яр		яр
			Рис. 7.2.1
Если отказало k технических устройств					то	ров
но п ТУ обслуживается			(каждое ТУ обслуживается одним			ка
налом)	и k—п ожидает очереди на обслуживание.
Состояния системы будем связывать с числом отказавших ТУ:
	— отказало	ровно i ТУ (i = 0, 1, ..., h) и все они нахо
	дятся на обслуживании			(ремонтируются, проходят ре-

289

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/83058

Смотрите также:









2014 biblioonline ru
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»