Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

гламент и т. п.); каждое ТУ обслуживается одновре менно I каналами;

Xj — отказало ровно / ТУ (j = h + \, ..., п— 1) и все они на

ходятся на обслуживании; в обслуживании участву ют одновременно все п каналов, распределяясь про извольно между отказавшими ТУ, но так, что все п

каналов заняты обслуживанием;

хп+г — отказало ров.но п + r ТУ (r = 0, 1,	т — /г); из них
п обслуживается (каждое ТУ одним	каналом) и г
ожидает в очереди на обслуживание.
Граф состояний системы показан на рис. 7.2.1.

Сравнивая граф этой системы с графом, изображенным на рис. 7.1.2, можно убедиться в том, что с точностью до обозначе ний они совпадают. Следовательно, можно воспользоваться фор мулами (7.1.12) для вероятностей состояний при стационарном

режиме работы рассматриваемой системы:
Pi =		------( * = 0 , ! , • • • ,			h)\		(7.2.2)
		Я(1)
P ( h , h ) P ( m - J , у)				(	д + 1	п)	(7.2.3)
1	Р ф , h ) P ( m , х)				1	'	4
Р	(ft,	h) Р (т — (п + г),		X)	р 0(г = 0,1- •	т — я);(7.2.4)
Р п + г ----		Р (0,	h ) P ( m , х)		р 0(г = 0,1- •	т — я);(7.2.4)
где		Р (0,	h ) P ( m , х)
где
		А й=	т				(7-2-5>
			« , = 4 -				(7.2.6)
							(7.2.7)

R (т, h, р {1)) Р (Л, h)R(m — h — 1, у) ’

^Р (0, Л) Р (т, г)

В(т, i, Pu)) = Clmp[i)q?i)

R{m, h, p(i)) = '2i Ckmpk{l)q™~\ k=0

Найдем среднее число обслуживаемых ТУ s:

*=Е/Л+Е w+nЕ P « + r = -^ - V] ХВ (/л, к р(1 ) 'г
/=0 /= //+1	Г=1	ч (о «То

290

-	PoP(ft’ ,l)____	V	j	P ( m -	j У ) +
Р ( О, Л ) Р (г а , у )		2 J	1	К	J '
		J= li+ 1
		т —п			+^ *>•
~\~пРо Г «РнХ, г>S					+^ *>•	(7.2.9)
Проведем следующие преобразования:
2	x ) - - = ^ j p ( ' n - j ,			z)—2		x)=
j=h+1	;=0			У=0
л		h

= ^ [ m — { m — j ) ] p ( m - j , y j - ^ i m — i m — j ) ] P ( m ~ J , X)--=

У=0					;=0
	n		n						li
= m ^1 P ( m — j t					j ) P ( m ~ j , * ) — m ' V P { m — j , x ) +
	y=o		y=o						y=o
	Л				m			m—л—1
Jr ' 2 l ( m - j ) P { i n — j \ y . ) = m					2 p 0 ’, X ) -			2
	7 = 0				1_7 = 0			7 = 0
	m	m — n— 1				Г m			m — h— 1
- 2	/ p 0 ’ x ) +		2 y p ( y ’ ' A ~ m						2	p ( / . x ) +
y=o			m—h—1			7 = 0			7 = 0
			m—h—1
	+ 2 y P (; ’ 7^ — 2 y P 0>					=		—Л— 1, x ) ~
	y=o			y=o
— R ( m — n — 1, X)] —x [				— Л —2, ■i)—R ( m —n —2, x)].							(7.2.10)
Далее
/77 —лг				/л—(/7+1)
2	Я ( / и — (я + r),		х ) —	2	p ^r ’	Х) =	Я ( ' « — ( « +			1). х )	(7 . 2 . 1 1 )
Г=1				г =О
С учетом выражений				(7.2.10)	п (7.2.11)		среднее число обслужи
ваемых ТУ будет равно
* =	^	‘В ( т ’	р ю ) + л <<Г»)р Д				,				X ) -
	х = 0
— R ( m		— я — 1,	х)] — х [ Я ( /и — А — 2, y ) - R { m						- n	— 2,	х )]} +
		^	D J	M '; ~	■Г ^ (/Д -(Д +			1),	X).		(7.2.12)
			Р(0,	h)P(m,	у)

291

Среднее число ТУ, ожидающих очереди на обслуживание, можно найти из выражения

т — п		Р,Р (Л, Л)— —
г =	Г Р п + Г -	Р,Р (Л, Л)— —		гР(т -(п-\-г), х) =
г=1	Я (О, Л) Р (т,		х) г=1
^0Р(Л, ft)		[(т—п) —(т — п — г)]Р(т —п —г, yj —
Р (О, А) Я (я, X)		[(т—п) —(т — п — г)]Р(т —п —г, yj —
Р (О, А) Я (я, X)
	Г = 1
=Яо	я (Л, Л)	(« —я)		P(m —n — r,	X ) -
	Я (О, А) Я (я,	(« —я)		P(m —n — r,	X ) -
	Я (О, А) Я (я,	X)	Г=1
			Г=1
— (т —п —г)Р(т —п —г, х)				PiP (h, h)		X
— (т —п —г)Р(т —п —г, х)				Я (О, А) Я (я,	х)	X
г=1
X	К«г —n)R{m —п — 1,		х) —уЯ(т —п — 2, х)].			(7.2.13)
Тогда среднее число простаивающих технических устройств
будет		l — s-\-r.
		l — s-\-r.				(7.2.14)
Вероятность того, что ТУ будет работать, равна
		& = 1 ----- --				(7.2.15)
			т
Среднее время простоя ТУ будет
		7fn = 7*р	1 ,			(7.2.16)

где /р = - ----- среднее время работы ТУ.

Плотность распределения времени ожидания в очереди най

дем	из выражения,	аналогичного выражению				(7.1.24):
	/ h	п—1	\	т—п—1
/ о ч ( 0	= 8 ( 0 ( 5 ] л +	j = h +1	Р) \| т	2	^ p ^ e - " » ‘Pn+r( t > 0).
	\ 1 = 0	j = h +1	/	г=0	’	(7.2. 17)

Используя тот же прием, который был применен в предыду щем параграфе при непосредственном определении среднего вре мени нахождения в очереди, из формулы

*ич = j * / о ч ( * ) Л

292

получим такое выражение [см. (7.1.25), (7.1.26) и (7.2.4)]:

т«’“Т 7 ^ й 17 г Т р(",- ('г+г^-»'(^ г)- (7'2И8)

г=0

Сумму, входящую в это выражение, можно вычислить по

формуле	(7.1.26). Следует обратить внимание, что при вычисле
нии правой части выражения (7.1.26) нужно пользоваться фор
мулами §	7.1 для вычисления величины р0 [см. (7.1.9)] и величи
ны £ [см.	(7.1.13) — (7.1.16)].

Для нахождения среднего времени обслуживания	одного ТУ
можно воспользоваться равенством
^П^ОЧ+ ^О с,	(7.2.19)
откуда
^обс = ^п ^оч*

Ввиду небольшого числа формул не будем приводить сводки основных расчетных формул.

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

7.2.1. Рассматривается работа аэродрома, к которому припи сано 20 самолетов. На аэродроме имеется 4 ангара для ремонта и профилактического осмотра самолетов. (Число каналов обслу живания /г = 4). Оборудование ангаров допускает «взаимопо мощь» при ремонте самолетов только между двумя ремонтными группами (1=2). Каждый самолет в среднем через 5 суток дол

жен либо ремонтироваться, либо проходить профилактический

осмотр: (х = — — -— )

Ремонт или профилактика осуществ-

\5 сутки)

ляется в среднем в течение суток [ц = 1------

Определить па-

\ сутки;

раметры работы аэродрома с точки зрения ремонта и проведения профилактического осмотра самолетов.

Р е ш е н и е

Работу аэродрома можно рассматривать как работу замкну той системы массового обслуживания с параметрами:

я = 4 ; т — 20;	/= 2 ;	h= \ ~	1 = 2;		Х = 0 ,2 — — ;
		[ I	\		сутки
ц = 1 —	; х =	—20;		« ,= - ^ = 0 ,1 ;
сутки		к			1\L
PiD	0,1	0,091;		^(0	0,909.
PiD	1+ 0,1	0,091;		^(0	0,909.

293

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/83058

Смотрите также:









2014 biblioonline ru
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»