Материал: Проблемы обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем

(2)

(3)

Под решением уравнения (1) понимаются элементы функционального класса, каждый из которых на интервалах удовлетворяет уравнению (1), а в фиксированном наборе точек знакосогласованным условиям

. (4)

Здесь через обозначен элемент фазового пространства , а через и - невырожденные квадратные матрицы, такие, что матрица

(5)

знакосогласована. При этом под знакосогласованной [1] мы понимаем прямоугольную матрицу , , для которой все ненулевые миноры порядка m имеют одинаковый знак, причем хотя бы один из этих миноров отличен от нуля.

Задача (1)-(4) является обобщением описанной выше модельной задачи [2]. Решения обеих задач могут иметь разрывы в точках , соответственно функция Грина может терять непрерывность на прямых и . В отличие от задачи из [2], решение которой монотонно на каждом участке знакопостоянства производной , решение задачи (1)-(4) может не быть монотонным в точках . Однако знакосогласованность матриц (5) гарантирует аналогичные знаковые свойства решения x(t) и функции Грина G(t,s). Исследуем эти свойства.

Приведем вначале утверждения о свойствах функций, удовлетворяющих знакосогласованным условиям в точках .

Лемма 1. Пусть функция x(t) удовлетворяет в точке условиям (4). Тогда при справедливы неравенства

(6)

если то одно из следующих двух неравенств ложно

(7)

В дальнейшем нам потребуется более подробно рассмотреть случай, когда одно из значений обращается в нуль. Приведем свойство решений без доказательства. Обозначим через (i, j = 1,2).

Замечание. Пусть ( ).

Если , то непрерывна в точке и .

Если ( ), то ( ) и ( ).

Если и ( ), то выполняются неравенства (6), причем второе и первое (третье) из них строгие.

Далее получим условие знакопостоянства решения уравнения (1), удовлетворяющего условиям (4), на участке знакопостоянства производной.

Пусть ,

.

Лемма 2. Пусть функция x(t) – решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (4). Если , то

( ), i=1,…,n и на ( ).

Для того, чтобы обосновать однозначную разрешимость краевой задачи, достаточно показать ее невырожденность, то есть, что однородная краевая задача имеет только тривиальное решение. Поэтому исследуем свойства решений однородного уравнения.

Обозначим , тогда, если , то . Пусть , .

Лемма 3. Пусть x(t) – нетривиальное решение однородного уравнения Lx=0 на , удовлетворяющее условиям (2) и (4) в точках . Тогда функции x(t) и знакопостоянны на и . Функция может иметь только изолированные нули.

Покажем теперь невырожденность задачи (1)-(4). Пусть x(t) – нетривиальное решение однородного уравнения Lx=0, удовлетворяющее условиям (2)-(4). Функция кусочно-постоянна на и имеет скачки в точках , удовлетворяющие условиям (4). Так как , то в силу леммы 3 получим , что противоречит условию (3). Следовательно, однородная задача имеет тривиальное решение.

Для доказательства существования и непрерывности функции Грина G(t,s) достаточно представить исходную задачу в виде краевой, но уже для векторного дифференциального уравнения второго порядка без особенностей внутри интервала. Такая задача эквивалентна исходной и, следовательно, невырождена. Для нее существует функция Грина, вводимая классическим образом, которая будет являться матричной функцией. Эта матрица Грина, как хорошо известно (см. напр. [3]), непрерывна при . Отсюда непосредственно следует, что функция Грина исходной задачи существует и непрерывна по совокупности переменных на каждом прямоугольнике , i,j=0,1,…,n.

Приведем еще некоторые знаковые свойства решения уравнения (1), удовлетворяющего знакосогласованным условиям.

Лемма 4. Пусть x(t) – решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (4). Пусть , тогда функция x(t) имеет на ( ) не более одной перемены знака.

Следствие. Пусть выполнены условия леммы 4 и = , тогда функция x(t) знакопостоянна на и .

Рассмотрим теперь произвольный отрезок . Пусть на . Обозначим через . Если , то в зависимости от знака в силу леммы 2 или 4 функция x(t) имеет не более одной перемены знака на . Если , то положим .

Лемма 5. Пусть на и , тогда функция x(t) имеет не более одной перемены знака на каждом из множеств и .

Предыдущая лемма позволяет обосновать положительную обратимость задачи.

Теорема 1. Пусть x(t) – решение краевой задачи (1)-(4) и на , . Тогда на .

Легко показать, что для функции x(t) множество непусто. Тогда в силу условия (2) и леммы 5 на и . Условия (4) в силу лемм 2, 1 и замечания к лемме 1 гарантируют то, что функция x(t) не может менять знак левее точки t=b. Следовательно, и на .

Теорема 1 позволяет утверждать, что функция Грина G(t,s) неотрицательна почти всюду, а в силу непрерывности - и всюду на . Более того, нетрудно показать, что внутри она положительна. Для этого рассматривается функция при фиксированном . С помощью леммы 2 можно показать, что при . Тогда в силу леммы 3 и знакопостоянны на и , а так как на , то на при каждом фиксированном . Изменяя параметризацию на противоположную и проводя те же рассуждения, что и в лемме 3, нетрудно доказать следующую лемму.